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2024-2025学年云南省昌宁县第二中学高二下学期 6月份月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .复数 满足3+ = ，其中 为虚数单位，则 对应的点在复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知命题 ：“ > 2 是 2 4 > 0 的充分不必要条件”；命题 ：“ ∈ ， 2 = 3 3”.则下列正确的是
( )
A. 和 都是假命题 B. 和 都是假命题
C. 和 都是假命题 D. 和 都是假命题
3.在正方形 中， = 2 , = 2 ，设 = , = ,则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + 4 4 3 D.
1
3
4.下图 1 是 2020 2024 年国内生产总值及其增长速度，图 2 是 2020 2024 年三次产业增加值占国内生
产总值比重(三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业).根据图 1，图 2，以下描述不正确的是( )
A. 2022 年第二产业增加值较 2021 年有所减少
B. 2020 2024 年国内生产总值呈逐年增长的趋势
C. 2022 年与 2024 年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落
D. 2020 2024 年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为 1.7%
5.已知函数 ( ) = 1 + ( > 0 且 ≠ 1)在[1,3]上的最大值与最小值之和为 2，则 的值为( )
A. 4 B. 1 14 C. 3 D. 3
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6.正方体 1 1 1 1的棱长为 4，点 在棱 1 1上，平面 把正方体 1 1 1 1分成两个
几何体，其中一个几何体的体积为 14，则平面 截正方体 1 1 1 1所得的截面周长为( )
A. 10 + 5 2 B. 4 5 + 6 2 C. 5 + 5 2 D. 15
7 1 1.已知定义域为 的函数 ( )满足 (1) = ，且 ( ) + ′( ) < 0，则不等式 + 1 > +1的解集是( )
A. (2, + ∞) B. ( ∞,2) C. (0, + ∞) D. ( ∞,0)
8.椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，这说明圆锥曲线
与光有着紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．例如，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射
2 2
后会经过另外一个焦点，设 1， 2分别是椭圆 2 + 2 = 1 > > 0 的左、右焦点，从焦点 1发出的光线
先后经过椭圆上的 ， 两点反射后回到焦点 1.若 1 = 1 2， = 1，则椭圆的离心率为( )
A. 13 B.
2 17 3 17 3
3 C. 4 D. 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.公差为 的等差数列 与公比为 的等比数列 首项相同且为正数，则( )
A.若 < 0，则 为递减数列 B.若 0 < < 1，则 为递减数列
C. 若 > 1 > > 0，则 为递增数列 D.若 > 1 > > 0，则 为递增数列
2 2
10 .已知双曲线 : 2

= 1( > 0)，则下列说法正确的是( )
A.双曲线 的实轴长为 2 B.双曲线 的焦点到渐近线的距离为
C.若 2,0 是双曲线 的一个焦点，则 = 2 D.若双曲线 的两条渐近线相互垂直，则 = 2
11 .如图是因不慎丢失部分图象后，函数 = 2tan + ( > 0, < 2 )的局部图象，则下列结论正确
的是( )
A. 的最小正周期为2
B. 13 4 , 0 是 图象的一个对称中心
C. 图象的对称轴方程为 = 4 + 8 ∈
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D.已知 = sin 2 7 ，设 与 的图象在( 8 , 8 )内的交点为 , = 1,2, , ，则

=1 =
3
4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 .已知 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和，且 1， 2， 65成等比数列，则 = ．3
13 1.已知 2sin + = cos ，tan + tan = 3，则 tan tan = ．
14.生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设 ∈ {1,2,3,4}，对于有序数组 1, 2, 3, 4 ，记
1, 2, 3, 4 为 1， 2， 3， 4中所包含的不同整数的个数，比如： (1,1,2,2) = 2， (1,2,3,4) = 4.当
1, 2, 3, 4 = 1 时，有序数组 1, 2, 3, 44 的个数为 ；当 1, 2, 3, 4 取遍所有的4 个有序数组时，
1, 2, 3, 4 )的总和为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，且 cos cos + cos = 32 ．
(1)求角 的大小；
(2)点 在边 上，且 = 2, = = 1，求 的周长．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = 2 ln + ln > 0 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)证明： ≤ 0．
17.(本小题 15 分)
如图，在梯形 中， // ， ⊥ ， = 1， = 3， = 4， 是梯形 的中位线，将梯
形 沿 翻折得到五面体 ，点 为 上靠近点 的三等分点， ⊥ ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
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18.(本小题 17 分)
某大学生参加社会实践活动，对某公司 1 月份至 6 月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销
售单价 和销售量 之间的一组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价(元) 11 9.5 12 10.5 9 10
销售量(件) 11 10 8 6 15 14.2
(1)根据 1 至 5 月份的数据，求出 关于 的回归直线方程；
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 0.5 元，则认为所得到的回归直线方
程是理想的，试问 1 中所得到的回归直线方程是否理想？
(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从 1 中的关系，若该种机器配件的成本是 2.5 元/件，
那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润=销售收入 成本)．

参考公式：回归直线方程 = + ，其中 = =1 ，
2 2 =1
5 5
2 = 510, = 546.5
=1 =1
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 +

2 = 1 > > 0
3
的离心率为 2 ，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为 1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点 为椭圆上位于第一象限内一动点， ， 分别为椭圆的左顶点和下顶点，
( )求点 到直线 距离的最大值；
( )设直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. 13
14.4；700
15.(1)由 cos cos + cos = 32 及正弦定理得 cos sin cos + sin cos =
3
2 sin ，
3
所以 cos sin + = 2 sin ，
3
所以 cos sin = 2 sin ，
sin > 0 3 因为 ，所以 cos = 2 , ∈ 0, ，所以 = 6．
2
(2)在△ 3中， 2 = cos =
+4 1
2 2 ，解得 = 3，
3
在 中， 2 = 2 + 9 2 3 2 = 12 9 = 3，所以 = 3，
所以周长= 3 + 3 + 3 = 3 + 2 3．
16.(1) ∈ 0, + ∞ ， ′ = 1 ln + ln = ln ，令 ′ = 0，得 = ．
当 ∈ 0, 时， ′ > 0， 在 0, 上单调递增；
当 ∈ , + ∞ 时， ′ < 0， 在 , + ∞ 上单调递减．
(2) = 2 ln + ln = ．
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设 = > 0 ，则 ′ = ，
令 ′ = 0，得 = 1
当 ∈ 0,1 时， ′ > 0， 单调递增；
当 ∈ 1, + ∞ 时， ′ < 0， 单调递减．
所以 ≤ 1 = 0，即 ≤ 0，
由(1)知， ≤ ≤ 0，得证．
17.(1)如图，连接 ， ，
∵ = 12 (1 + 3) = 2， = = 2， // ，
∴四边形 为菱形，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)由(1)可得， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，如图，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、
轴、 轴，建立空间直角坐标系，
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不难求得 = = 3，则 (0,0,0)， (0,2,0)， ( 3, 3,0)， ( 3, 1,0)， (0,1, 3)，
∴ = ( 3, 1,0)， = (0, 1, 3)

设平面 的法向量 = ( , , ) = 0, 3 + = 0,，则有 即
= 0, + 3 = 0,
∴可取 = (1, 3, 1)，
∵ ⊥平面 ，∴平面 的法向量 = = ( 3, 1,0)，
∴ cos , = = 2 3 = 15 5×2 5 ，
15
即平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ．
18.(1)因为 = 11+9.5+12+10.5+95 = 10.4, =
11+10+8+6+15
5 = 10，
5
所以 = =1 = 510 5×10.4×10
5 2
≈ 1.75 = 10 1.75 × 10.4 = 28.2，
=1
2 546.5 5×10.42
于是 关于 的回归直线方程为 = 1.75 + 28.2；
(2)当 = 10 时， = 1.75 × 10 + 28.2 = 10.7，
因为 14.2 10.7 = 3.5 > 0.5，
所以可以认为所得到的回归直线方程是不理想的；
(3)令销售利润为 ，
则 = 2．5 1．75 + 28.2 = 1．75 2 + 32.575 70.5(2．5 < < 16．1)，
2
因为 = 1．75 + 18.6 70.5 ≤ 1.75 × +18.62 70.5 = 80.86，
2
= 3．2 + 15 100 ≤ 3 2 × +15． 2 100 = 80，
当且仅当 = + 18.6，即 = 9.3 时， 取最大值．
所以该产品的销售单价定为 9.3 元/件时，获得的利润最大．
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3
= 2 = 2
19.(1)由题意： 2 2 = 1 ，解得 = 1 ． = 3
2 = 2 + 2
2
所以椭圆 的方程为： 24 + = 1．
(2)( )如图：
易知： 2,0 ， 0, 1 ，所以直线 的方程为： + 2 + 2 = 0．
设 2cos , sin ，因为 在第一象限，所以可取 ∈ 0, 2 ．
所以点 到直线 的距离为：

= 2cos +2sin +2
2 2sin +
= 4
+2
≤ 2 2+2 = 2 5+ 105 5 5 ，当 =

4时取“=”.22+1
所以点 2 5+ 10到直线 距离的最大值为 5 ．
( ) sin sin 因为直线 的方程为： = 2cos +2 + 2 ，令 = 0 可得 0, 1+cos ；
直线 sin +1的方程为： = 2cos 1，令 = 0
2cos
可得 1+sin , 0 ．
1
所以四边形 的面积为： = 2 =
1 2cos 2 1+sin + 2
sin cos +sin +1 cos +sin +1
1+cos + 1 = 1+sin 1+cos
2 + 2 + 1+ 2sin + 2cos + 2sin cos 2+ 2sin + 2cos + 2sin cos
= 1+ sin + cos + sin cos = 1+ sin + cos + sin cos = 2
为定值．
又 1 2 2+2面积的最大值为：2 × 5 × 5 = 2 + 1，
所以 面积的最大值为： 2 + 1 2 = 2 1．
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