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贵州省贵阳市第二十八中学2024-2025学年度第二学期期中质量监测
八年级 数学试卷
（时间：120分钟　满分：150分）
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确)
1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3
2．在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D的度数为( )
A．36° B．108° C．72° D．60°
3．在平面直角坐标系中，点P(3，－2)到原点的距离是( )
A． B． C． D．3
4．下列运算正确的是( )
A．＋＝ B．＝3 C．＝－2 D．＝
5．下列说法正确的是( )
A．正方形既是矩形，又是菱形
B．有一个内角是直角的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．如图，在高为5 m、坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯的长度为( )
A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m
7．已知x＝1＋，则代数式x2－2x－6的值是( )
A．－2－8 B．－10 C．－2 D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
9．有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在边BC上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝3∶1，则线段CH的长为( )
A．3 B． C．1 D．2
11．如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四张这样的直角三角形纸片，把它们按如图②所示的方式放入一个边长为3的正方形中(纸片不重叠，无缝隙)，则图②中阴影部分的面积为( )
A．4 B．3 C．4 D．
12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG.有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝AB2，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13．将 化成最简二次根式为_______．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是边AB的中点，连接CD.若△BCD的周长是18，则AB的长是____
15．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接BE并延长，交AD于点F，连接DE.当∠BED＝120°时，∠ABF的度数为____________．
16．某公园内滑雪场U型池的示意图如图所示，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 m，其边缘AB＝CD＝24 m，点E在CD上，CE＝4 m．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为________m.
三、解答题(本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)(1)计算：(＋)÷－6；
(2)当x＝＋1，y＝－1时，求代数式x2－y2＋xy的值．
18．(本题满分10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝5，求AD与BD的长．
19．(本题满分10分)木工师傅做一个三角形屋梁架ABC如图所示，上弦AB＝AC＝4 m，跨度BC＝6 m，为牢固起见，还需做一根中柱AD(AD是△ABC的中线)加以连接，现有一根长3 m 的木料，请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做成中柱AD.
20．(本题满分10分)对实数a，b定义：a*b＝a2b－ab＋b，
如：3*2＝32×2－3×2＋2＝14.
(1)求(－3)*的值；
(2)若2*m＜－6，化简：＋.
21．(本题满分10分)如图，E是 ABCD的边AD的中点，对角线AC与BD相交于点O，BE的延长线交CD的延长线于点F，连接AF，OE.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若OE＝2，求CF的长．
22．(本题满分10分)如图，在四边形ABCD中，BC＝AB，CD2＋AD2＝2AB2，AD⊥CD.
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若CD＝AB，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
23．(本题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB.
(1)求证：四边形ABEO是菱形；
(2)若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积．
24．(本题满分12分)综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下列二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整．
(1)具体运算，发现规律：
等式1：＝2；
等式2：＝3；
等式3：＝4；
等式4：______________________________________；
(2)观察、归纳，得出猜想：
n为正整数，猜想等式n可表示为___________________，并证明你的猜想；　　　　
(3)应用运算规律：
化简：×××.参考答案：
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分
1.B
2.B
3.B
4.D
5.A
6.A
7.C
8.A
9.C
10.B
11.A
12.C
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.4
14.13
15.15°
16.4
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17．(本题满分12分)
（1）解：原式＝(2＋5)÷－2
＝2＋5－2
＝5.
（2）解：∵x＝＋1，y＝－1，∴x＋y＝2，x－y＝2，xy＝2.
∴原式＝(x＋y)(x－y)＋xy
＝2×2＋2
＝4＋2.
18.（10分）
解：∵四边形ABCD是矩形，OA＝5，
∴BD＝AC＝2OA＝10，∠BAD＝90°.
∴AD＝＝＝8.
∴AD的长是8，BD的长是10.
19.（10分）
解：∵AB＝AC＝4 m，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝3 m.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得AD＝＝ m.
∵<3，∴这根木料的长度适合做成中柱AD.
20.解：(1)(－3)*＝(－3)2×－(－3)×＋＝9＋3＋＝13.
(2)∵2*m＜－6，∴4m－2m＋m＜－6，解得m＜－2.
∴＋＝－m－2－m＝－2m－2.
21.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠BFC，∠BAE＝∠FDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
∴△ABE≌△DFE(AAS).∴BE＝FE.
∴四边形ABDF是平行四边形．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD.
∵AE＝DE，∴OE是△ACD的中位线．
∴CD＝2OE＝2×2＝4.
∵四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF.
∴DF＝CD＝4.∴CF＝CD＋DF＝8.
22.
(1)证明：连接AC.
∵AD⊥CD，∴AD2＋CD2＝AC2.
∵CD2＋AD2＝2AB2，∴AC2＝2AB2.
∵BC＝AB，∴AC2＝AB2＋BC2.
∴∠B＝90°，即AB⊥BC.
(2)解：由(1)知∠B＝90°，∴CD2＋AD2＝AB2＋BC2.
∵CD＝AB，AB＝BC，AD＝17，
∴CD2＋172＝(3CD)2＋(3CD)2.
∴CD＝.∴AB＝BC＝3.
∴四边形ABCD的周长为CD＋AD＋AB＋BC＝17＋7.
23.（12分）证明：∵BE∥AC，OE∥AB，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA.
∵AC＝2AB，∴OA＝AB.
∴四边形ABEO是菱形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝2，OB＝BD＝4.
连接AE，交OB于点M.
由(1)知四边形ABEO是菱形，
∴AE⊥OB，AE＝2AM，OM＝OB＝2.
∴AM＝＝4.
∴AE＝2AM＝8.
∴S四边形ABEO＝AE OB＝×8×4＝16.
24.（12分）
解：(1)＝5
(2)＝(n＋1)
证明如下：
等式左边＝＝＝(n＋1)＝右边，
故猜想成立．
(3)原式＝100×200××＝100×200×××××＝20 000.
25.（12分）
(1)证明：在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝30°.
∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°.
由题意，得CD＝4t cm，AE＝2t cm.
∴DF＝CD＝2t cm.
∴AE＝DF.
(2)解：四边形AEFD能够成为菱形．
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又∵AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．
∵四边形AEFD是菱形，
∴AE＝AD，即2t＝60－4t，
解得t＝10.
∴当四边形AEFD是菱形时，t的值是10.
(3)当t＝或12时，△DEF是直角三角形．理由如下：
分三种情况讨论：
①当∠DEF＝90°时，由(2)知四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD.∴∠ADE＝∠DEF＝90°.
∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°.
∴AD＝AE，即60－4t＝×2t，解得t＝12.
②当∠EDF＝90°时，由AB∥DF，得∠AED＝∠EDF＝90°.
∵在Rt△AED中，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°.
∴AD＝2AE，即60－4t＝2×2t，解得t＝.
③当∠EFD＝90°时，则点E与点B重合，点D与点A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t为12或时，△DEF是直角三角形．

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