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2024-2025学年山东省济南市商河县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是
A. B. C. D.
2.“池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归”这是韩愈描写柳絮的池上絮每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有将数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是( )
A. 一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上
C. 从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字
D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
6.如果一个等腰三角形的两条边长分别为和那么这个等腰三角形的周长是( )
A. B. C. D.
7.小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，这现在的实际时间为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
8.均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示图中为一折线，这个容器的形状是图中( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，的面积为，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，，连接，为的中点，为直线上任意一点则长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：
；
；
；
；
．
其中正确的个数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算： ______．
12.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______．
13.某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”如图可抽象为如图所示模型已知垂直于水平地面当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升即与始终平行，在该运动过程中，当时，的度数为______．
14.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：
鸭的质量
烤制时间
若鸭的质量为时，烤制时间为______．
15.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，点，，，，在同一平面内已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为______．
16.如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
计算：．
先化简，再求值：，其中，．
19.本小题分
如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，，求证：．
证明：______，
已知．
______ ______等量代换．
______
______
已知，
等量代换．
____________同旁内角互补，两直线平行．
______
20.本小题分
如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，．
求证：；
若，，求的度数．
21.本小题分
如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
求的面积；
画出，使它与关于直线成轴对称；
在直线上找一点，使周长最小．
22.本小题分
在一个不透明的口袋里装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
从中任意摸出一个球，摸到______球的概率大填白或红；
从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是______；
从口袋里取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，求的值．
23.本小题分
【问题情境】
我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研摩天轮上均匀分布个吊舱，顺时针旋转一周需要分钟．
【实践过程】
小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图．
【问题研究】
请根据图中信息回答：
在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；
摩天轮最高点距地面______米，摩天轮最低点距地面______米；
【问题解决】
如图，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需分钟，求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度结果保留
24.本小题分
在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线、和一块直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动．
【初步体验】
如图，三角尺的角的顶点在上，则的度数为______
【基础巩固】
如图，瑶瑶同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由．
【强化应用】
如图，雅雅同学把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上若，，请写出与的数量关系用含，的式子表示，并说明理由．
25.本小题分
【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法如图，平分，为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可直接根据______填字母依据证明≌；
【类比解答】如图，在中，，平分，于点，延长交于点，求的度数；
【实际应用】图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：用量角器取的平分线；过点作于点已知，，的面积为，请直接写出的面积；
【拓展延伸】如图，在中，，，平分，，交的延长线上于点，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.
解：，，选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
2.
解：，
故选：．
3.
解：、原式，错误；
B、原式，正确；
C、原式，错误；
D、原式，错误，
故选B
4.
解：由题意知：，，
过作，则，
，，
，
，
，
．
故选：．
5.
解：、一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃的概率是，不符合题意；
B、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是，不符合题意；
C、从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字的概率是，符合题意；
D、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，不符合题意．
故选：．
6.
解：当是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；
当是腰时，则三角形的周长是．
故选：．
7.
解：因为是从镜子中看，
所以对称轴为竖直方向的直线，
因为的对称数字是，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
所以这时的时刻应是：．
故选：．
8.
解：均匀地向一个容器注水，函数图象的走势是稍陡，平，陡，
高度升高的速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．
下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小，则相应的排列顺序就为．
故选A．
9.
解：由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：．
10.
解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
故结论正确；
设与交于点，与交于点，如图所示：
在中，，
在中，，
，，，
，
，
故结论正确；
，
，
在中，是边上的高，
，
，
故结论正确；
过点作交的延长线于点，如图所示：
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
故结论正确；
≌，
，
，
，
≌，
，
，
故结论正确，
综上所述：正确的结论是，共个，
故选：．
11.
解：原式．
故答案是：．
利用平方差公式即可求解．
本题主要考查平方差公式：两个两项式相乘；有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．
12.
解：由图可知，黑色方砖块，共有块方砖，
小球最终停留在黑砖上的概率是．
故答案为：．
13.
解：过点作，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.
解：设鸭的质量为时，烤制时间为分钟，
根据表格数据可得，鸭的质量每增加千克，烤制时间增加分钟，
可设，
，
鸭的质量为，即，时，．
故答案为：．
15.
解：由题意可知，，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
16.．
解：如图，作，使，连接交于点，连接，
是等边三角形，且为的高，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
当点与点重合时，，此时的值最小，
此时的值也最小，
，
当取得最小值时，，
故答案为：．
17.
解：
．
18.；
，．
原式
；
原式
，
当，时，
原式
．
19.对顶角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，内错角相等
解：对顶角相等，
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
故答案为：对顶角相等；，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等．
20.解：证明：因为，
所以即，
因为，
所以，
在和中，
，
所以≌，
所以，
所以；
因为，，
所以，
所以．
21.解：；
如图，为所作；
如图，点为所作．
22.红；
；
从口袋里取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，
则口袋中现在有白球个，红球个，根据题意得
，
解得．
解：因为红球的数量多于白球的数量，所以从中任意摸出一个球，摸到红球的概率大，
故答案为：红；
从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是，
故答案为：；
从口袋里取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，
则口袋中现在有白球个，红球个，根据题意得
，
解得．
23.，； ，； 米．
解：在这个变化过程中，自变量是，因变量是；
故答案为：，；
摩天轮最高点距地面米，摩天轮最低点距地面米；
故答案为：，；
摩天轮最高点距地面米，最低点距离地面米，
摩天轮的直径是米，
米
答：所走的路径的长度是米．
24.；
，理由见解析；
，理由见解析．
解：，，，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
如图，过点作，
，，
，
，，
，
；
，理由如下：
，
，
，，
，
，
．
25.解：【问题情境】
【类比解答】同可得，≌，
，
，
，
，
，
；
【实际应用】的面积；
【拓展延伸】，证明如下：
如图：延长交延长线于，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
解：【问题情境】平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；
【类比解答】见答案；
【实际应用】如图，延长交于点，
同可得，≌，
，，
，
，
，
，
的面积为，
，
，
，
的面积；

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