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第15章
轴对称
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
综合与实践
最短路径问题
日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题 .在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究.
复习回顾
1. 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短.
2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC 最短，因为垂线段最短.
3. 三角形的三边关系是？
三角形三边关系：两边之和大于第三边.
新知探究
活动 一 牧民饮马问题
A
B
l
数学问题
C
？
任 务 1 ：如 图 1 , 牧 民 从A 地出发，到一条笔直的河边 L 饮马，然后到B 地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短
将A，B 两地抽象为两个点
将河l 抽象为一条直线
问题转化为：
在直线l 上确定一点C，使得AC+BC最短.
新知探究
思考：
（1）现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？
A
l
B
C
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求.
连接 AB，与直线 l 相交于点 C.
新知探究
思考：
（2）如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，又应该如何解决？
能够借助异侧两点的思路来解决同侧问题？
如果将点B“移”到 l 的另一侧 B′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′ 的长度相等，就可以了！
A
B
l
利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′.
B
′
新知探究
“牧民饮马”问题解决思路
(1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
(2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
A
B
l
B′
C
如何证明？
新知探究
任 务 2：“牧民饮马”问题证明方法
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与
点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质知
BC = B′C，BC′ = B′C′．
∴ AC + BC = AC + B′C = AB′，
AC′ + BC′ = AC′ + B′C′．
在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′，
∴ AC + BC＜AC′ + BC′，
　 即 AC + BC 最短．
A
B
l
B′
C
C′
新知探究
思考：
“牧民饮马”问题解决过程中为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
B
·
l
A
·
B′
C
C′
思考：
你还有其他的方法吗？
(1) 作点 A 关于直线 l 的对称点 A′；
(2) 连接 A′B，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
A
B
l
A′
C
新知探究
思考：
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角


A
B
l
C
B′
D
典例精析
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.
也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.
任 务 3：举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
新知探究
活 动 二 牧民饮马问题的拓展
任 务 1 ：如 图 , 牧 民 从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮 马，最后回到A 处.牧民怎样走可使所走的路径最短
新知探究
【分析】我们把草地边缘和河岸边缘抽象成两条射线OM，ON，分别画出点A关于OM、ON的对称点B、C，连接BC交OM、ON于点D、E，连接AD、AE，则线段AD、DE、EA即为所示路径.
B
O
M
N
D
C
E
新知探究
任务2：如 图 , 牧 民 从A 地出发，先到草地边 某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B 处 . 牧民怎 样走可使所走的路径最短
D
O
M
N
E
C
F
B
【分析】我们把草地边缘和河岸边缘抽象成两条射线OM，ON，分别画出点A关于OM的对称点D、点B关于ON的对称点C,连接DC交OM、ON于点E、F，连接AE、AF，则线段AE、EF、FB即为所示路径.
新知探究
任务3：
如图,牧民每天从生活区的边沿A 处出发，先到草地边的B 处牧马，再到河边C 处饮马，然后回到A 处 . 如何确定A,B,C的位置，使从A处出发，到B 处牧马，再到C 处饮马，最后回到A 处所走的路径最短
O
M
N
【分析】我们把草地边缘和河岸边缘、生活区边缘抽象成三条线段，组成△OMN，把这个问题转化为数学问题，就是在MN上找一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使△ABC的周长最短.如何确定点A，B，C的位置.
新知探究
任务3：
如图,牧民每天从生活区的边沿A 处出发，先到草地边的B 处牧马，再到河边C 处饮马，然后回到A 处 . 如何确定A,B,C的位置，使从A处出发，到B 处牧马，再到C 处饮马，最后回到A 处所走的路径最短
【分析】假设在点A,B,C处时△ABC的周长最短，我们可以利用轴对称把AB，BC,AC转化到一条直线上，作点A关于OM、ON的对称点D和E,连接DE，DE交OM,ON于点B和C.
O
M
N
A
D
E
B
C
新知探究
任务3：
如图,牧民每天从生活区的边沿A 处出发，先到草地边的B 处牧马，再到河边C 处饮马，然后回到A 处 . 如何确定A,B,C的位置，使从A处出发，到B 处牧马，再到C 处饮马，最后回到A 处所走的路径最短
【分析】由轴对称的性质可知，OA=OD=OE,AB=DB,AC=CE,∠DOM=∠AOM,∠AON=∠EOA.易知∠DOE=2∠MON,△ABC的周长等于DE的长，∠MON是一个定角，故∠DOE的角度也是一个定值，当OD，OE的值最小时，DE的值最小，而OD=OE=OA，故当OA最小时，DE的值最小，此时△ABC的周长最短，由垂线段最短，可知当OA⊥MN时，OA最短.
O
M
N
A
D
E
B
C
新知探究
任务3：
如图,牧民每天从生活区的边沿A 处出发，先到草地边的B 处牧马，再到河边C 处饮马，然后回到A 处 . 如何确定A,B,C的位置，使从A处出发，到B 处牧马，再到C 处饮马，最后回到A 处所走的路径最短
O
M
N
解：过点O作OA⊥MN，垂足为点A,作点A关于OM、ON的对称点D和E,连接DE，DE交OM,ON于点B和C，此时△ABC的周长最短.即此时牧民从A处出发，到B 处牧马，再到C 处饮马，最后回到A 处所走的路径最短.
A
D
E
B
C
任 务 4：举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
应用
如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？

A
l1
l2
B

解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称点B′；
（3）连接A′B′，分别交直线l1，l2于点C，D，连接AC，BD.
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.

A
l1
l2
B

B′
A′
C
D
任 务 4：举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
新知探究
活 动 三 造桥选址问题：
任务1：如图所示，将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b


M
N
新知探究
思考：
B
A
●
●

N
M
N
M
N
M
如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是 AM + MN + BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
桥的宽度是不变的...
新知探究
A
B
a
b


M
N
对的，其实我们只需要将桥的长度减出来，再进行计算就可以了.
假设桥的位置可以改变，比如将桥平移到A或者B.
新知探究
由平移的性质知 AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
如图，平移 A 到 A1，使AA1 等于河宽，连接 A1B 交河岸于N，作桥 MN，此时路径 AM + MN + BN 最短.
B
A
A1
M
N
理由：另任作桥 M1N1，连接 AM1，BN1，A1N1.
N1
M1
AM＋MN＋BN 转化为 AA1＋A1B，而 AM1＋M1N1＋BN1 转化为 AA1＋A1N1＋BN1.
在△A1N1B 中，∵ A1N1＋BN1＞A1B，
∴ AM1＋M1N1＋BN1＞AM＋MN＋BN.
同理，我们也能平移 A 到 A1，使AA1 等于河宽，解决问题
归纳总结
新知探究
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
应用
如图，荆州古城河在 CC′ 处直角转弯，河宽相同，从A 处到 B 处，须经两座桥：DD′，EE′ (桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD′E′EB 的路程最短？
解：作 AF⊥CD，且 AF = 河宽，作 BG⊥CE，且 BG = 河宽，连接 GF，与内河岸相交于 E′，D′. 过 E′，D′ 作河岸的垂线段 DD′，EE′ 即为桥.
理由：由平移的性质可知，
AD∥FD′，AD = FD′.
同理，BE = GE′.
由两点之间线段最短可知，GF 最小.
A
D
D′
C
C′
E
E′
B
A
D′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
任务2 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
典例精析
例1
如图，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由.
P
O
A
B
P'
P''
E
F
作法：过点P分别作关于直线OA,OB的对称点P'，P''，连接P'P''分别交直线OA,OB于点E,F，则点E,F即为所求.
典例精析
例2：
如图，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由．
M'
N'
E
F
N
O
A
B
M
作法：过点M,N分别作关于直线OA,OB的对称点M' ,N' ，连接M' N' 分别交直线OA,OB于点E,F，则点E,F即为所求.
归纳总结
“牧民饮马”问题
“造桥选址”问题
关键是将固定线段“桥”平移
线段知识和垂线段最短
最短路径问题
轴对称知识 + 线段知识
原理
当堂检测
1.如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点，AD = 5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF + EF 的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
B
2.如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为
(1，4) 和 (3，0)，点 C 是 y 轴上的一个动点，且
A，B，C 三点不在同一条直线上，当△ABC
的周长最小时点 C 的坐标是（ ）
A．(0，3) B．(0，2)
C．(0，1) D．(0，0)
B′
C′
E
A
当堂检测
3.如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A.900 B.1200 C.1500 D.1800
A
C
D
B
解：延长AC至点A′，使得A′C=AC，
连接A′B交CD于点E，连接AE.
则点E即为所求的点.
A
C
D
B
E
A′
当堂检测
解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠BDE，
∠A′EC=∠BED，
A′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
A
C
D
B
E
A′

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