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21.3实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制分为主场、客场交替进行，共进行了 72 场比赛，若设这
次有 x 队参加比赛，则根据题意可列方程为（ ）
1
A． x（x+1）=72 B．x（x+1）=72
2
1
C． x（x-1）=72 D．x（x-1）=72
2
2．某厂家 2024 年 1～5 月份销售的电车数量如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂家电车销售的平
均月增长率为 ，根据题意可得方程（ ）
A．140(1 )2 = 461 B．180(1 + )2 = 461
C．450(1 )2 = 368 D．368(1 + )2 = 450
3．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛 28 场，则参加此次比赛
的球队数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻.在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构
用钢量从 5.4 万吨减少到 4.2 万吨.若设平均每次用钢量降低的百分率为 x，根据题意，可得方程
（ ）
A．5.4（1﹣x）2＝4.2 B．5.4（1﹣x2）＝4.2
C．5.4（1﹣2x）＝4.2 D．4.2（1+x）2＝5.4
5．在某次同学聚会上，每两个人都握一次手，所有人共握手 45 次，设有 x 人参加这次聚会，则列
出方程正确的是（ ）
A．x（x+1）=45 B．x（x﹣1）=45
C． =45 D． =45
6．如图，一块正方形地砖的图案是由 4 个全等的五边形和 1 个小正方形组成的，已知小正方形的面
积和五边形的面积相等，并且图中线段 a 的长度为√10 2，则这块地砖的面积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
7．清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 的方
法证明了勾股定理（如图）．设四个全等直角三角形的较短直角边为 ，较长直角边为 ，五边形
7
的面积为 1，Δ 的面积为 ，若 = 1，
1
2 = 5，则 的值为( ) 2
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
8．自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要
在每张长和宽分别为50 和80 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积
为相片面积的1时较美观．若所镶彩纸的宽为 ，根据题意，列方程
3
为 ．
9．学校课外生物小组的试验园地是长 35 米、宽 20 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两
纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为 600 平方米，求小道的宽．若设小道的宽为 米，则可
列方程为 ．
10．某超市一月份的营业额为 200 万元，第一季度总营业额为 800 万元，设平均每月营业额的增长
率为 x，则由题意列方程为 ．
11．如图，一张长12 、宽10 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余
部分（阴影部分）可制成底面积是24 2的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 3．
12．某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价 65 元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售
价格将下降 10%，第二季度又将回升 5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成
本的百分率为 x，根据题意可列方程是_______．
13．电影《中国机长》首映当日票房已经达到 1.92 亿元，2 天后当日票房达到 2.61 亿元，设平均每
天票房的增长率为 x，则可列方程为 .
14．九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其
他成员赠送一本，全组共互赠了 132 本图书，则全组共有 名同学．
15．如图，在矩形 中， = 5, = 7,点 是 上的一个动点，把△ 沿 向矩形内部折
叠，当点 的对应点 1恰好落在∠ 的平分线上时， 1的长为 ．
16．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻.在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结
构用钢量从 5.4 万吨减少到 4.2 万吨.若设平均每次用钢量降低的百分率为 x，根据题意，可得方程
_
17．如图，在正方形 中， = 4 点 是对角线 的中点，动点 ， 分别从点 ， 同时出
发，点 以1 / 的速度沿边 向终点 匀速运动，点 以2 / 的速度沿折线 — 向终点 匀速
运动，连接 并延长交边 于点 ，连接 并延长交折线 — 于点 ，连接 ， ， ，
，得到四边形 ．设点 的运动时间为 （s）（0 < < 4），当四边形 是轴对称图形
时，则 的值为 ．
18．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个
全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中 AF=a，DF＝b，连接 AE，BE，若
2 2
△ADE与△BEH的面积相等，则 + ＝ ．
2 2
19．如图，菱形 中，∠ = 60°, = 7，点 E 在对角线 上，且6 = ，点 F 在 延长线
上，连接 ，作∠ = 60°．交 延长线于点 G， = 4，则 = ，延长 ， 交于
点 H，则 的长是 ．
20．如图是一块矩形菜地 , = ( ), = ( )，面积为 ( 2)．现将边 增加1 ．
（1）如图 1，若 = 5，边 减少1 ，得到的矩形面积不变，则 的值是 ．
（2）如图 2，若边 增加2 ，有且只有一个 的值，使得到的矩形面积为2 ( 2)，则 的值
是 ．
三、解答题
21．张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是 5000 元，四月份的盈利达到
7200 元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．求每月盈利的平均增长率．
22．如图，某单位准备将院内一块长30 ，宽20 的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折
的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532 2，求小道进出口的宽度．
23．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2
尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．请求出竹竿
的长度．
24．为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行收费标准如下：
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用 2800 元，请问该班共有多少人参加这次春游活
动？
25．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元时，每天可售出 20
件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市
场调查发现，如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件．
（1）设每件童装降价 x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用
x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利 1200 元．
（3）要想平均每天盈利 2000 元，可能吗？请说明理由．
26．如图，利用一面墙(墙长 25m)，用总长度为 70m 的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏
ABCD，且中间共留两个 1m 宽的小门．设栅栏 BC 的长为 xm．
（1）AB= m(用含 x 的代数式表示)；
（2）若矩形围栏 ABCD 的面积为 324 2，求栅栏 BC 的长．
27．准备在一块长为 30 米，宽为 24 米的长方形花埔内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(
如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的 4 倍，若四条小路所占
面积为 80 平方米，则小路的宽度为多少米？
28． 2022 年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台
1 月份的销售额是 225 万元，第一季度的销售额是 819 万元．
（1）若该平台 1 月份到 3 月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为 24 元/千克时，每天能销售 300 千克，售价每
降低 2 元，每天可多售出 100 千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知
该水果的成本价为 12 元/千克，若使销售该水果每天获利 4000 元，则售价应降低多少元？
29．“品中华诗词，寻文化基因”，某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校七年级参加竞赛的学生
成绩统计后，绘制了如下不完整的频数表与如图所示的频数直方图.
参加竞赛的学生成绩频数表
组别 成绩 x（分） 人数 百分比
A 60≤x<70 8 20%
B 70≤x<80 16 m%
C 80≤x<90 a 30%
D 90≤x≤100 4 10%
参加竞赛的学生成绩频数直方图
解决下列问题：
（1）表中 a= ，m= .
（2）补全频数直方图.
（3）方方参加了这次竞赛，成绩下来后，他对圆圆说：“我这次竞赛的成绩位于中游，比我答得
好的人比比我答得差的人少 3 个.”请你算一算，方方是第几名？
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
【解答】解：设参加此次比赛的球队数为 x 队，根据题意得：
1
x（x﹣1）＝28，
2
化简，得 x2﹣x﹣56＝0，
解得 x1＝8，x2＝﹣7（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是 8 队．
故答案为：C．
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解。
4．【答案】A
【解答】解：设平均每次用钢量降低的百分率为 x，根据题意得：
5.4（1﹣x）2＝4.2，
故答案为：A.
【分析】根据题意可得等量关系：5.4 万吨×（1﹣降低的百分率）2＝4.2，根据等量关系列出方程即
可.
5．【答案】D
【解答】由于每个人都和自己之外的其余 ( 1) 个人握了一次手，则 个人共握手 ( 1)
次，但由于甲与乙握手和乙与甲握手只能算作一次，故握手总次数为： ( 1) ，由此可列方程
2
为： ( 1)
= 45
.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：每个人都会握（x-1）次手，所以 个人共握手 ( 1)次，而每两个人的一
次握手重复计算了一次，所以可得握手手总次数为： ( 1) ，于是可根据题意列方程。
2
6．【答案】B
7．【答案】A
8 1．【答案】(50 + 2 )(80 + 2 ) 50 × 80 = × 50 × 80（答案不唯一） 3
9．【答案】(35 2 )(20 ) = 600（或2 2 75 + 100 = 0）
10．【答案】200 + 200(1 + ) + 200(1 + )2 = 800
11．【答案】48
12．【答案】
13．【答案】1.92（1+x）2＝2.61
【解答】解：设平均每天票房的增长率为 x，
根据题意得：1.92（1+x）2＝2.61.
故答案为：1.92（1+x）2＝2.61.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式 a(1+x)n=p，其中 a 是平均增长开始的量，x 是增
长率，n 是增长次数，P 是增长结束达到的量，根据公式即可列出方程即可
14．【答案】12
15．【答案】3√2或4√2
16．【答案】5.4（1-x）2=4.2
【解答】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2.
故答案为：5.4（1-x）2=4.2.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式 a(1-x)n=p，其中 a 是平均降低开始的量，x 是降低
率，n 是降低次数，P 是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
17 4或8．【答案】
3 3
18．【答案】3
【解答】解：∵ = ， = ，
∴ = = ， = = = ，
∵ △ 与△ 的面积相等，
1 1
∴
2 = 2
，
1 1
∴b 2 ( )
2 = 2
，
∴ 2 = 2 ，
2
∴ 1 = ( ) ，

2
∴
2 1 = 0
，

解得
√5+1
= （负值舍去）， 2
2
2
2
√5+1 2 2∴
2 + 2 = ( 2 ) + ( ) = 3
；
√5+1
故答案为：3．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，三角形的面积，根据题意得出关于 的

2
方程是解题的关键．由△ 与△ 的面积相等得出： 2 = 2 ，即
2 1 = 0
，解方程

2
得到
√5+1 2（负值舍去）代入 + 中进行计算即可得到结论．
= 2 2 2
19 ；38．【答案】10
3
20．【答案】6；6 + 4√2
21．【答案】20%
22．【答案】小道进出口的宽度应为 1 米．
23．【答案】10 尺
24．【答案】该班参加这次春游活动的人数为 35 名.
25．【答案】（1）（20+2x）；（40-x）
（2）解：根据题意，得：（20+2x）（40-x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
∵要扩大销售量，
∴x＝20，
答：每件童装降价 20 元，平均每天盈利 1200 元；
（3）解：不能，理由如下：
（20+2x）（40-x）＝2000，
整理，得：x2-30x+600＝0，
∵Δ＝（-30）2-4×600＝-1500＜0，
∴此方程无实数根，
故不可能做到平均每天盈利 2000 元．
【解答】解：（1）∵每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件，
∴每件童装降价 x元时，每天可销售：(20 + 2 )，
∵每件衣服可盈利：120 80 = 40，
∴当每件童装降价 x元时，每件衣服可盈利：40 ，
故答案为：（20+2x），（40-x）.
【分析】（1）根据"每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件"，即可计算出降价 x 元，可销售出
的衣服件数，即可求解；
（2）根据盈利=销售件数×利润，即可求解；
（3）根据盈利=销售件数×利润，列出方程，计算根的判别式即可求解.
26．【答案】（1）（72-3x）
（2）解：根据题意，得 x(72-3x)=324，
解得 x=18 或 x=6.
当 x=18 时，72-3x=72-3×18=18＜25，符合题意；
当 x=6 时，72-3.x=72-3×6=54＞25，不符合意，舍去。
答：栅栏 BC 的长为 18 m.
【解答】解： （1）AB=70+1×2-3x=（72-3x）米，
故答案为：（72-3x）．
【分析】 （1）根据"AB 的长=栅栏的总长+两个 1m 宽的小门 -3 个 BC 的长"求解；
（2）根据“矩形围栏 ABCD 面积为 324 平方米”，列出关于 x 的一元二次方程求解，并对各个解的实
际意义验证后得出 BC 的长.
27．【答案】解：设小路的宽度为 x 米，则小正方形的边长为 4x 米，
依题意得：(30+4x+24+4x)x=80
整理得：4x2+27x-40=0，
解得 x1=-8（舍去），
5
x2= ．
4
答：小路的宽度为5米．
4
【解析】【分析】设小路的宽度为 x 米，则小正方形的边长为 4x 米，根据小路的横向总长度(30+4x)
米和纵向总长度(24+4x)米，建立方程，解方程即可求出答案.
28．【答案】（1）解：设月平均增长率为 x，则：225＋225（1＋x）＋225（1＋x）2＝819，
解得：x1＝0.2，x2＝－3.2（舍去），
∴月平均增长率是 20%．

（2）解： 设售价应降低 y 元，则： (24 12 )(300 + × 100) = 4000， 2
解得：y1＝4，y2＝2（舍去），
∴若使销售该水果每天获利 4000 元，则售价应降低 4 元．
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为 x，根据题意列出关于 x 的一元二次方程，并解出符合题
意的 x 即可；
（2）设售价应降低 y 元，根据题意列出关于 y 的一元二次方程，并解出符合题意的 y 即可.
29．【答案】（1）12；40
（2）解：80≤x<90 频数为 12，故高度为 12，补全频数直方图如下：
（3）解：设比方方答得好的人为 x 人，则比方方答得差的人数为（x-3）人，
x+(x+3)+1=40，解得 x=18；
故方方是第 19 名；
【解答】解：(1)、由频数表可得 A 组的人数为 8，百分比为 20%，则总人数为8 ÷ 20% = 40
（人）；
a=40-8-16-4=12（人）；
m=100-20-30-10=40；
【分析】(1)、先根据 A 组的人数和百分比求出总人数，然后根据总人数减 ABD 组的人数，可得 C
组人数；根据四组百分比的和为 100%可得 m.
(2)、频数的高度为组别 C 的人数.
(3)、比方方答得好的加上比方方答得差的加上方方自己等于总人数可得.

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