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2.3第1课时一元二次不等式的解法
一、选择题
1．不等式－x2＋x＋2<0的解集为(　　)
A．{x|－1B．{x|－2C．{x|x<－1，或x>2}
D．{x|x<－2，或x>1}
2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
3．不等式x2－(m＋1)x＋m＜0的解集中恰有三个整数，则实数m的取值范围为(　　)
A．{m|－3≤m≤5}
B．{m|－2≤m＜－1或4＜m≤5}
C．{m|－3＜m＜1或4＜m＜5}
D．{m|－3≤m＜－2或4＜m≤5}
4．下列四个不等式中，解集为一切实数的是(　　)
A．x2＋6x＋10≥0 　 B．x2－2x＋5>0
C．－x2＋x＋1≥0 　 D．2x2－3x＋4<0
5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n，或x>m} 　 B．{x|－nC．{x|x<－m，或x>n} 　 D．{x|－m6．关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＜0的解集是(　　)
A．{x|x＜－1或x＞3} 　 B．{x|－1＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3} 　 D．{x|x＜1或x＞3}
7．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．{x|0B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>1}
D．{x|－18．(多选)对于给定的实数a，关于实数x的不等式a(x－a)(ax＋a)≥0的解集不可能为(　　)
A．R
B．{x|a≤x≤－1}
C．{x|x≤a或x≥－1}
D．
二、填空题
9．二次函数y＝x2－4x＋4的零点是________．
10．使根式有意义的实数x的取值范围是__________．
11．已知x＝1是不等式k2x－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________________．
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于(1，0)与(3，0)两点，当a＝________时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________．(写出a的一个值即可)
三、解答题
13．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0．
14．设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．
15．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0．
答案解析
1．C　[原不等式可化为x2－x－2>0，即(x－2)(x＋1)>0，故不等式的解集为{x|x<－1，或x>2}．
故选C．]
2．D　[法一：取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C．故选D．
法二：原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－．故选D．]
3．D　[x2－(m＋1)x＋m<0 (x－1)(x－m)<0，
①当m＝1时，显然不符合题意；
②当m>1时，不等式的解集为{x|1由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故4③当m<1时，不等式的解集为{x|m由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，－1，－2，故－3≤m<－2．
所以实数m的取值范围为{m|－3≤m<－2或44．A　[对于A，由x2＋6x＋10≥0，可得Δ＝62－4×1×10＝36－40＝－4<0，
所以x2＋6x＋10≥0的解集为R，故A正确；
对于B，x2－2x＋5＝(x－)2>0，
所以x2－2，故B错误；
对于C，－x2＋x＋1≥0可化为x2－x－1≤0，
Δ＝1＋4＝5>0，所以x2－x－1≤0的解集为，故C错误；
对于D，由2x2－3x＋4<0，可得Δ＝32－4×2×4＝9－32<0，所以2x2－3x＋4<0的解集为空集，故D错误．故选A．]
5．B　[方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，
因为m＋n>0，所以m>－n．
结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n6．B　[因为关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，所以a＝b>0，(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)<0，即(x＋1)(x－3)<0，解得－17．B　[根据给出的定义，得
x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x☉(x－2)<0，即(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－28．BD　[因为a(x－a)(ax＋a)≥0 a2(x－a)(x＋1)≥0，
①当a＝0时，不等式的解集为R，
②当a≠0时，不等式变为(x－a)(x＋1)≥0，
方程(x－a)(x＋1)＝0的根为x＝a或x＝－1，
当a<－1时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥－1}，
当a＝－1时，不等式的解集为R，
当a>－1且a≠0时，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥a}，
综上所述，当a＝0或a＝－1时，不等式的解集为R，
当a<－1时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥－1}，
当a>－1且a≠0时，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥a}．故选BD．]
9．2
10．{x|－4≤x≤1}　[由－x2－3x＋4≥0，得x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1．]
11．{k|k<0，或012．1　{x|x<1或x>3}(答案不唯一)　[当a>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，且与x轴交点为(1，0)与(3，0)，结合图象(图略)可得不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1或x>3}．]
13．解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0．
当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)；
当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4；
当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)，或x14．解：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－．
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为．
②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为 ．
③当－即原不等式的解集为．
④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为．
综上所述，当a>0时，不等式的解集为x<，或x>2}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；
当－当a＝－时，不等式的解集为 ；
当a<－时，不等式的解集为．
[点评]　易漏a＝0的情形，重视数形结合的应用，避免与当a<0时解集的书写错误．
15．解：因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为 ；
当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根，
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ>0，即a>时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1综上所述，当－时，原不等式的解集为 ；
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a>时，原不等式的解集为{x|a－}．
[点评]　把握好讨论依据，分类求解，注意讨论要不重不漏．
1 / 72.3第2课时　一元二次不等式的应用
一、选择题
1．不等式≤0的解集为(　　)
A．{x|－5≤x≤1}
B．{x|－5≤x<1}
C．{x|x≤－5，或x≥1}
D．{x|x≤－5，或x>1}
2．不等式≥1的解集是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
3．产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 　 B．120台
C．150台 　 D．180台
4．若p：≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞0
B．b＜0
C．a－b＋c＞0
D．不等式
6．某市有块三角形荒地，如图△ABC所示，∠A＝90°，AB＝AC＝200米，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF，其中D，E，F点分别在线段AB，BC，CA上，若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则AD的长度(单位：米)范围是(　　)
A．{x|40≤x≤160} 　 B．{x|50≤x≤150}
C．{x|55≤x≤145} 　 D．{x|60≤x≤140}
7．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式h＝v0t－gt2，其中g≈10 m/s2，v0为初速度．某同学以v0＝11 m/s的速度竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为(　　)
A．1.8 s 　 B．2.8 s
C．3.8 s 　 D．4.8 s
8．(多选)有纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为(　　)
A．7 　 B．9
C．11 　 D．13
二、填空题
9．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－710．已知关于x的不等式－1＜－2＜x＜0}，则实数a的值为________．
11．已知不等式ax2＋bx－3<0的解集为{x|－10的解集为________．
12．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的取值范围是________．
三、解答题
13．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为．
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0．
14．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．问这次事故的主要责任方是谁？
15．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C＝(x＞0)，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值．
答案解析
1．D　[由不等式≤0可转化为(x＋5)(x－1)≥0且1－x≠0，解得x≤－5或x>1，所以不等式的解集为{x|x≤－5，或x>1}．故选D．]
2．A　[因为≥1，所以≥0，所以≥0，所以
解得－故选A．]
3．C　[由题设可知，产量为x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C．]
4．B　[p：≥0，即∴2q：x2－7x＋10<0，即2∴p是q的必要不充分条件．]
5．BCD　[因为不等式ax2－bx＋c>0的解集为，
所以因此选项A不正确，选项B正确；
a－b＋c＝a－－a>0，因此选项C正确；
cx2＋bx＋a<0 －ax2＋6．3　[因为不等式ax2＋8ax＋21<0的解集为{x|－77．3　[不等式－1<<1，
可得|ax＋2|<|x－2|，平方可得(ax＋2)2<(x－2)2，
即(a2－1)x2＋(4a＋4)x<0，
由不等式解集是{x|－2故a2－1>0，且－2＋0＝，解得a＝3．]
8．{x|x<1}　[由题意可得－1，3是方程ax2＋bx－3＝0的两根，且a>0，则由根与系数的关系可得
解得所以不等式bx＋1＋a>0化为－2x＋2>0，解得x<1，
故所求不等式的解集为{x|x<1}．]
9．解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1．
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以所求不等式的解集为．
10．B　[△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，△ABC为等腰直角三角形，设AD＝x米，则EF＝FC＝AD＝x米，FA＝(200－x)米，依题意有x(200－x)≥7 500，解得50≤x≤150．即AD的长度(单位：米)范围是{x|50≤x≤150}．故选B．]
11．A　[由题意得：h＝11t－5t2，令h＝11t－5t2>2，即5t2－11t＋2<0，解得0.212．BC　[设桶的容积为x，根据题意可得关于x的一元二次不等式：x－8－≤20%·x，且x>8，
化简可得x2－15x＋40≤0，∴813．{x|3≤x≤10}　[根据题意，2×100×≥3 000，即5x2－14x－3≥0，解得x≥3或x≤－．∵1≤x≤10，∴3≤x≤10，即x的取值范围是{x|3≤x≤10}．]
14．解：由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，
s乙＝0.05x＋0.005x2>10．
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40．
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h．
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
15．解：(1)由题意得y＝0.2x＋(x>0)，
令y≤7.2，即0.2x＋≤7.2，
整理得x2－31x＋220≤0，
即(x－11)(x－20)≤0，解得11≤x≤20，
所以设备占地面积x的取值范围为{x|11≤x≤20}．
(2)x>0，由基本不等式得
y＝0.2x＋－1＝7，
当且仅当，即x＝15时等号成立，
所以设备占地面积为15平方米时，y的值最小，最小值为7万元．
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