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2.2第1课时基本不等式
一、选择题
1．已知x＞0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B 　 B．A≤B
C．A＞B 　 D．A＜B
2．负实数x，y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为(　　)
A．1 　 B．0
C．－1 　 D．－4
3．已知x＞1，y＞0，x＋y＝3，则(x－1)·y的最大值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．1
4．已知x＞－1，当x＝a时，x－4＋取得最小值b，则a＋b＝(　　)
A．－3 　 B．2
C．3 　 D．8
5．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是(　　)
A．xy≤ 　 B．≥2
C．≥2 　 D．x2＋y2≥2|xy|
6．若0A．a2＋b2 　 B．2
C．2ab 　 D．a＋b
7．已知m＝a－2＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n 　 B．mC．m＝n 　 D．不确定
8．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A． ≤(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．(a＞0，b＞0)
D．≥(a＞0，b＞0)
二、填空题
9．已知x，y为正实数，且满足4x＋y＝40，则xy的最大值是________．
10．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
11．当x＞0时，y＝的最小值为________．
12．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________．
三、解答题
13．(1)(2025，天津高考)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值．
(2)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值．
14．设x>0，求证：x＋．
15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：
设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值．
答案解析
1．A　[∵x>0，A＝x－2，B＝－，∴A－B＝x＋，即x＝1时取等号．即A≥B．故选A．]
2．B　[根据题意有x＝－y－2，故x－－2＝0，
当且仅当－y＝，即y＝－1，x＝－1时取等号．因此，x－的最小值为0．故选B．]
3．D　[由x>1，y>0，x＋y＝3，得(x－1)·y≤＝1，当且仅当x－1＝y，即y＝1，x＝2时取等号．所以(x－1)·y的最大值是1．故选D．]
4．C　[因为x>－1，所以x＋1>0，>>0，故x－4＋－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，故a＝2，b＝1，a＋b＝3．故选C．]
5．B　[对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，
即xy≤(2，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立；
对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立；
对于C，＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立；
对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B．]
6．D　[法一：∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．]
7．A　[因为a>2，所以a－2>0，
所以m＝(a－2)＋＝2，
由b≠0，得b2≠0，所以n＝2－b2<2．
综上可知m>n．故选A．]
8．A　[由题图可知，OF＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF＝，
∵CF≥OF，∴(a＋b)(a，b>0)．故选A．]
9．100　[因为4x＋y＝40，所以xy＝＝100，当且仅当4x＝y，即x＝5，y＝20时，等号成立．
所以xy的最大值为100．]
10．p>q　[∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
即p>q．]
11．　[当x>0时，，当且仅当x＝2时等号成立，
所以当x>0时，y＝．]
12．　[由013．解：(1)因为x>－2，所以x＋2>0．
由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2
≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立．
因此，当x＝2时，y的最小值为6．
(2)xy＝·2x·5y≤·(2＝10，
当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立，
所以xy的最大值是10．
14．证明：因为x>0，所以x＋>0，
所以x＋．
当且仅当x＋，即x＝时，等号成立．
故不等式得证．
15．解：(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即横线处应填．
(2)因为a>0，b>0，c>0，
且a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)因为a>0，b>0，c>0，，
所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，
0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
抓住“和定积最大，积定和最小”，类比基本不等式即可求解本类问题．
1 / 62.1第2课时等式性质与不等式性质
一、选择题
1．对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是(　　)
A．如果a＞b，那么ac＞bc
B．如果a＞b，那么|a|＞|b|
C．如果a＞b，那么＜
D．如果ac2＞bc2，那么a＞b
2．若实数a，b满足a＞0＞b，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a－b＜0 　 B．a＋b＞0
C．a2＞b2 　 D．＞
3．已知1A．0<2a－b<11 　 B．－4<2a－b<5　
C．－1<2a－b<10 　 D．－2<2a－b<5
4．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
5．(多选)已知实数a，b，c，d满足a＜b＜0＜c＜d，则(　　)
A．a＋c＜b＋d 　 B．a＋d＜b＋c
C．a2d2＞b2c2 　 D．＞
6．若a>b>c，a＋b＋c＝0，则有(　　)
A．ab>ac 　 B．ac>bc
C．ab>bc 　 D．以上都错
7．x＜y＜0，则下列不等式不成立的是(　　)
A．1－x2＜1－y2
B．x2n+1＜y2n+1(n∈N)
C．＜
D．＞0
8．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．(多选)已知6A．21C．<<4 　 D．<<
二、填空题
10．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________．
11．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad．若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
12．给出以下四个命题：
①a＞b an＞bn(n∈N*)；②a＞＞；④a＜b＜0 ＞．其中真命题的序号是________．
三、解答题
13．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做的对吗？如果不对，请指出错误的原因．
甲：因为－6所以－2乙：因为2又因为－6丙：因为2又因为－2所以－314．若bc－ad≥0，bd>0，求证：．
15．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围．
答案解析
1．D　[当c＝0时，A显然错误；当a＝2，b＝－2时，B，C显然错误；由ac2>bc2可知c2>0，结合不等式性质可知a>b，D正确．故选D．]
2．D　[因为a>0>b，可得a－b>0，所以A不正确；因为a>0>b，而a，b的绝对值的大小不确定，所以a＋b的符号不确定，所以a2，b2的大小关系不确定，所以BC不正确；因为a>0>b，所以，所以D正确．故选D．]
3．C　[因为1又因为－2则－1<2a－b<10，故选C．]
4．B　[∵xa2．
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax．
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2．
∴x2>ax>a2．故选B．]
5．ACD　[由a再由ab2>0，d2>c2>0，
再利用同向不等式的可乘性得：a2d2>b2c2，故C正确；
又由a－b>0，d>c>0，
再利用同向不等式的可乘性得：－ad>－bc，
两边同除以正数(－bd)得，故D正确．故选ACD．]
6．A　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0>c，
对于A，∵b>c，a>0，∴ab>ac，故选项A正确；
对于B，∵a>b，c<0，∴ac对于C，当a＝1，b＝0，c＝－1时，ab＝bc，故选项C错误．故选A．]
7．C　[x2－y2＝(x＋y)(x－y)，因为x0，即x2>y2，所以1－x2<1－y2，故A正确；
因为xy2>0，
所以(x2)n>(y2)n>0，即x2n>y2n>0(n∈N*)，
所以x2n+1因为y－x>0，xy>0，
>0，所以，故C错误；
因为y<0，x＋y<0，所以>0，故D正确．故选C．]
8．A　[∵>0，∴，∴()2>()2，
∴a>b>0，∴a2－b2>0，
∴“>0”是“a2－b2>0”的充分条件，
又∵a2－b2>0，不妨取a＝－2，b＝1，
无法推出>0，故A正确．]
9．AC　[A选项，6B选项，－18<－b<－15，故6－18C选项，，故×60，即<4，C正确；
D选项，因为<4，且＋1，故<5，D错误．故选AC．]
10．1，－1(答案不唯一)　[由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但，故答案可以为1，－1．(答案不唯一)]
11．3　[①② ③，①③ ②．(证明略)
由②得>0，又由③得bc－ad>0，
所以ab>0．所以②③ ①．所以可以组成3个正确命题．]
12．②③　[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；
②a>|b|，得a>0，∴an>bn成立；
③a④aa，故，④不成立．]
13．解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的．
乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将214．证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc．
因为bd>0，所以，所以＋1，
所以．
15．解：法一：设u＝a＋b，v＝a－b，
得a＝，b＝，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v．
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6．
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10．
法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b．
∴
又
∴－2≤4a－2b≤10．
[易错警示]　由于1≤a＋b≤4与－1≤a－b≤2中的等号不能同时成立，故不能对不等式直接相加或相减．
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