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第1章《三角形》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，借助直角三角板作 ABC的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ）
A．B． C． D．
3．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，若，，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
6．如图，在 ABC中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（ ）
A．17 B．16 C．18 D．20
7．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知 ABC的面积为12，平分，且于点，则的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
9．如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ．
12．已知 ABC中，，，则中线的取值范围是 ．
13．某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的 ABC和重叠在一起，固定 ABC不变，将沿射线平移．若 ABC的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ．
14．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
15．如图，在 ABC中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ．
16．如图，在 ABC中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本题6分）无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点．
(1)在图1中，作与 ABC全等（点与点不重合）；
(2)在图2中，作 ABC的高；
(3)在图3中，作 ABC的中线．
18．（本题6分）用一条细绳围成一个三角形，
(1)若围成一个等腰三角形且有一个角为，求另两个角的度数；
(2)若围成一个等腰三角形且周长为，腰长比底边长大，求腰长和底边长；
(3)若围成的三角形三边长均为整数，且分别为，，，求x和周长．
19．（本题8分）如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．
求证：
(1)．
(2)．
20．（本题8分）如图，在 ABC中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O．
(1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若，求的度数．
21．（本题8分）如图，与都是等边三角形，若与相交于点．
(1)求的度数；
(2)连接，求证：平分．
22．（本题8分）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N．
(1)请说明的理由；
(2)若，，，求的长．
23．（本题8分）操作实验：
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．
所以，所以．
归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
根据上述内容，回答下列问题：
思考验证：
（1）如图（4），在 ABC中，．试说明的理由；
探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，．
（2）与是否相等，为什么？
（3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（4）探究与的数量关系，并说明理由．
24．（本题8分）如图， ABC是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G．
(1)求证：；
(2)若求的长度．
25．（本题12分）如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且．
(1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系．
小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ．
(3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ．
参考答案
一、选择题
1．D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．
先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解．
【详解】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意；
B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意；
C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意；
D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．A
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
根据高线的定义即可得出答案．
【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，
借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是，
故选：A．
3．C
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意；
添加条件，则可利用证明，故B不符合题意；
添加条件，不可以利用证明，故C符合题意；
添加条件，则可利用证明，故D不符合题意；
故选：C．
4．D
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键．
根据全等三角形的性质得到，由即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：D ．
5．D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了三角形各特殊交点的性质，需找到到三个顶点距离相等的点以保证游戏公平．游戏公平要求凳子到三名小朋友（位于三角形顶点）的距离相等．根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．因此，三角形三边垂直平分线的交点（外心）到三个顶点的距离相等；而角平分线交点（内心）到三边距离相等，中线交点（重心）到顶点距离与到对边中点距离成比例，高的交点（垂心）位置不固定，均不满足到顶点等距．
【详解】解：A选项：根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故A选项不符合题意；
B选项：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离不一定相等，故B选项不符合题意；
C选项：三角形三条高的交点的位置与三角形的形状有关，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故C选项不符合题意；
D选项：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，为使游戏公平，凳子应放在三角形的三条边的垂直平分线的交点 上，故D选项符合题意．
故选：D．
6．D
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，
，
，
故选：D．
7．B
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案．
【详解】解：过点作，垂足分别为，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
8．C
【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出．
【详解】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：．
9．C
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
根据全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，结合角平分线依次判断即可．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
．
又，
∴∠AOB=∠ACB=60°，，故②正确；
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，故③正确；
过点分别作，于点，两点，
如图所示：
，，
，
在和中，
，
，
，
又在的内部，
平分，
故④错误；
故选：C．
10．B
【知识点】全等三角形的性质
【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得
【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，
AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC
同理可得
又
故①正确
②如图，延长至，使，连接
，
如图，取的中点，连接并延长至，使得，
是的中点，
，
，
又
③如图，由①可知，故不一定等于
故③不正确
④如图，由②可知，
故④正确
综上所述，故正确的有①②④
故选B
二、填空题
11．10
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时，
，
不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时，
，
能组成三角形；
综上所述：第三边长是10，
故答案为：10．
12．
【知识点】三角形三边关系的应用、平行四边形性质和判定的应用
【分析】延长至点，使，可证得四边形为平行四边形，根据三角形三边关系即可得到的取值范围．
【详解】如图所示，延长至点，使．

根据题意可知，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∴，即．
∴．
故答案为：．
13．12
【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解
【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解．
【详解】解：∵ ABC沿方向平移的距离为2，
∴，，
∵ ABC的周长为8，即，
∴
∴四边形的周长为，
故答案为：12．
14．（或或）
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴即
又∵
当时，
当时，
当时，
故答案为：或或．
15．
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．先得出垂直平分，垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：由题意得：垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得．
【详解】解：如图，延长至点M，使，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是边上的高，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：如图1所示，为所求．
，
∴．
（2）解：如图2所示，为所求的 ABC的边上的高．
，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为所求的 ABC的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
18．（1）解：当顶角为时，则底角为，即另两个角的度数分别为，；
当底角为时，则顶角为，即另两个角的度数分别为，；
（2）解：设底边长为时，则腰长为，
则，
解得，，
∴，
即底边长为，腰长为；
（3）解：由题意可得，
，
解得，
∴或；
当时，三边长，不能构成三角形，
当时，三边长，能构成三角形，
周长为，
即，周长为．
19．（1）解：，
∴ ADE和 BEC均为直角三角形．
在和中，
，
．
（2），
∴，
，
，
，
，
∴．
20．（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下：
如图所示，连接，，，
∵，分别是，的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
（2）解：∵，分别垂直平分，，
∴，均为轴对称图形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（1）解：与都是等边三角形，
，，，
，
在和 BDE中，
，
，
，
；
（2）证明：连接，作，于点，，如图所示：
，
，，
，
，
平分．
22．（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
23．解：（1）如图，过A点作于D，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
∴．
（3）∵E是中点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴C在线段的垂直平分线上．
∵，
∴A在线段的垂直平分线上．
∴是线段．
（4），理由如下，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．（1）证明：∵ ABC是等边三角形，
∴，
在与 CBF中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴在中， ，
∵，
∴．
25．（1）解：
理由：延长至点，使得，连接，
∵将沿着斜边翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：在上截取，连接，
∵将沿着斜边翻折得到，
，
∴，
∴，
∴， ，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
故答案为： ；
（3）当点在线段上时， 如图，
的周长为： ；
当点在线段的延长线上时，如图，
的周长为：，
故答案为：或 ．

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