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第2章《实数的初步认识》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．任何数都有平方根的 B．一个正数的平方根一定小于本身
C．负数的立方根一定也是负数 D．的算术平方根等于
2．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个正数的两个平方根是和，则的值为（ ）
A．3 B．7 C． D．49
4．已知，则x的值为（ ）
A．4 B．2或 C．或4 D．
5．已知正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A． B． C． D．
6．下列语句正确的是（　　）
A．负数没有立方根 B．的立方根是
C．立方根等于本身的数只有 D．
7．下列说法中：①表示3的算术平方根的相反数；②的平方根是；③的立方根是；④的平方根是，其中正确的共有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．下列关于无理数的表述错误的个数是（ ）
（）有理数与无理数的和一定是无理数；
（）无理数与无理数的积一定是无理数；
（）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始．沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数；
（）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ．
12．把圆周率精确到，其近似值为 ．
13．的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ；
14．比较大小： （填“”“”或“”）
15．定义新运算“”，对于任意实数a，b有，则 ．
16．（新定义题）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．
（1）若是“最美实数”，则a的值为 ；
（2）若与都是“最美实数”，且，则的值为 ．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本题6分）求出下列等式中x的值：
(1) (2)
18．（本题8分）计算．
(1)； (2)．
19．（本题9分）求下列各式中x的值：
(1)； (2)； (3)．
20．（本题8分）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根．
（2）若x，y都是实数，且，求的立方根．
21．（本题8分）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．求的算术平方根．
22．（本题6分）把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧．
整数：{ …}；
非负实数：{ …}；
无理数：{ …}．
23．（本题8分）【阅读理解】
素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为；
素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是．
素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为．
【问题解决】
(1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，）
24．（本题9分）有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．
(2)若输出的值为，求输入的值．
参考答案
一、选择题
1．C
【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键；逐一分析各选项的正误，结合平方根、立方根及算术平方根的定义进行判断即可．
【详解】A．负数没有平方根，原说法错误，不符合题意；
B．正数的平方根可能等于或大于原数．如1的平方根为（1不小于1），0.25的平方根为，原说法错误，不符合题意；
C．立方根符号与数本身符号一致，负数立方根必为负数．如的立方根为，原说法正确，符合题意．
D．的算术平方根为（x的绝对值），当x为负时．例如，时，，原说法错误，不符合题意．
故选C．
2．C
【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查了平方根与立方根的定义．根据平方根与立方根的定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C正确；
D．，故D错误；
故选：C．
3．D
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。
根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。
【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是和，
所以，
解得：，
则，
所以；
4．C
【知识点】利用平方根解方程
【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或．
故选：C．
5．B
【知识点】利用平方根解方程、平方根的应用
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．
设正方形的边长为 ，根据题意可得，根据平方根的定义解出即可．
【详解】解：设正方形的边长为 ，根据题意得：
，解得： 或 （不合题意，舍去）．
故选：B．
6．D
【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可．
【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根，
∴选项A不符合题意；
∵64的立方根是4，
∴选项B不符合题意；
∵立方根等于本身的数有和0，
∴选项C不符合题意；
∴，
∴选项D符合题意，
故选：D．
7．C
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根
【分析】本题主要考查算术平方根、平方根及立方根的概念，根据相关知识点逐一分析各说法是否正确即可．
【详解】①：3的算术平方根是，其相反数为，故①正确；
②：，4的平方根是，而非，故②错误；
③：，因此的立方根是，故③正确；
④：，其平方根为，故④正确；
综上，正确的说法有①、③、④，共3个，
故选：C．
8．B
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数概念理解
【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数．
【详解】解：是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
（两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数．
综上，无理数有2个，
故选：B．
9．C
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
即，，
∴，，
又，
∴，
故选：C．
10．A
【知识点】无理数、实数与数轴、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，根据实数的运算法则、无理数的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（）有理数与无理数的和一定是无理数，该选项说法正确；
（）无理数与无理数的积一定是无理数，该选项说法错误，比如是有理数；
（）如图，以单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点对应的数是无理数，该选项说法正确，表示的数是；
（）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交点表示的数均是无理数，该选项说法正确，交点表示的数是和；
综上，表述错误的有个，
故选：．
二、填空题
11．或
【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、平方根概念理解
【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：当时，则，
当与不相等时，
∵和是正数M的平方根，
∴，
∴；
综上所述，或；
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴或，
∴的算术平方根是或，
故答案为；或．
12．
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查的是求一个数的近似数，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13．
【知识点】绝对值的几何意义、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解．
【详解】解：的绝对值是；
的立方根是；
，
的算术平方根是，
故答案为：，，．
14．
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．4
【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算
【分析】本题考查新定义，算术平方根，理解新定义，会求一个数的算术平方根是解题的关键．
根据新定义得，再求16算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：4．
16． 或 1
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、新定义下的实数运算、构造二元一次方程组求解
【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，算术平方根等于它的立方根的数为1或0．
（1）根据算术平方根等于它的立方根的数为1或0，得出或，求出a的值即可；
（2）根据算术平方根等于它的立方根的数为1或0，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程即可．
【详解】解：（1）根据题意得，
两边六次方得：，即，解得或，
则或，
解得：或．
故答案为：或
（2）解：∵与都是“最美实数”
∴或或或，
解得：或或或，
∵，
∴和不符合题意；
∴当时，；
当时，；
综上分析可知：的值为1．
故答案为：1，
三、解答题
17．（1）解：∵，
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∴或
∴或．
18．（1）解：
；
（2）解：
．
19．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．解：（1）的平方根是，的算术平方根是4，
，，
，，
，
的算术平方根为5；
（2）由可知，，
，，
，
的立方根为3．
21．解：正数x的两个不等的平方根分别是和，
，解得，
的立方根为，
，解得，
c是的整数部分，
，
，
的算术平方根是4；
22．解：整数：{①，⑧…}；
非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}；
无理数：{②，④，⑤…}．
23．（1）解：∵，
∴的整数部分是21，小数部分是．
（2）法1：纸的面积为，
纸的面积为．
设纸的宽为，长为，
，
由边长的实际意义，得，
，且，，
答：A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间．
法2：由题意得，纸的宽为，且
，
纸的宽介于84与85两个相邻的整数之间．
24．（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故；
当时，其算术平方根为2，是有理数，故；
当时，其算术平方根为4，是有理数，故；
（2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是，
∴，
当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是，
∴，
综上所述，的值为3或9．
25．解：（1）设，其中，
∴，
∴，
∵比较小，将忽略不计，
∴，
∴，
∴；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
∵，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．

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