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2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程(k－2)x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k的值是(　　)
A．－2 B．2　　　
C．0 D．－2或2
2．若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　)
A．4 B．－4
C．3 D．－3
4．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“和谐”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝c B．a＝b
C．b＝c D．a＝b＝c
5．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
6．(多选)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)
A．－9 B．－5　　　　
C．5 D．9
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程＋x＋c－a＝0的解集只有一个元素，且方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰但不等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
二、填空题
8．不解方程，则关于x的方程2x2－(2m＋1)x＋(m2＋1)＝0的解集为________．
9．若16x2＋1＋k(k为单项式)是一个完全平方式，则满足条件的k为________．
10．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝－1，则m的值是________．
11．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
12．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2，当＝0时，m的值为________．
三、解答题
13．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
14．一元二次方程x2－2x－＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋＝0的根，求k的值．
15．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0，
解得y1＝1，y2＝2．
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2．
上述解方程的方法叫做换元法．请用换元法解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0；
(2)若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值．
答案解析
1．A　[由已知得k2－4＝0且k－2≠0，解得k＝－2．]
2．D　[∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4m>0，解得m<1．故选D．]
3．A　[由题知，x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，
则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4．]
4．A　[∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0．又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0，化简得(a－c)2＝0，∴a＝c．]
5．AB　[当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；
当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6＞0，
所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；
当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝－4×2×3＝－8＜0，
所以此时方程无实数根，D错误．故选AB．]
6．BD　[设方程的两根为x1，x2，
由题意，得＝45．
所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45．
因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，
所以a2－2×2a＝45．
解得a1＝－5，a2＝9．
又因为Δ＝a2－8a，
当a＝－5时，Δ＞0，此时方程有两实数根．
当a＝9时，Δ＞0，此时方程有两实数根．]
7．C　[因为方程x2＋x＋c－a＝0的解集只有一个元素，所以Δ＝()2－4×＝0，即a＋b＝2c．　①
又因为方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，
所以a＝b．　②
由①②可得a＝b＝c，即△ABC为等边三角形．]
8． 　[因为Δ＝[－(2m＋1)]2－4×2(m2＋1)＝＋4m－7＝－(2m－1)2－6<0，所以方程的解集为 ．]
9．±8x或64x4　[16x2＋1＋k是完全平方式，则满足条件的单项式k是±8x或64x4．]
10．3　[一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
则Δ＝(2m＋3)2－4m2＞0，解得m＞－．α＋β＝－2m－3，αβ＝m2，
则＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，因为m＞－，
所以只有m＝3符合题意．]
11．{－1，3}　[把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x．
∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3．
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1，3}．]
12．　[由题意得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，解得m≤．
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m－1)，x1x2＝m2．
由＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＝0．
若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝．因为＞，可知m＝不合题意，舍去；
若x1－x2＝0，即x1＝x2，由Δ＝0，得m＝．
故当＝0时，m＝．]
13．解：　(1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素，得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，
解得k＜4．
(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，
∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，
得1＋m－1＝0，
解得m＝0；
当x＝3时，
把x＝3代入x2＋mx－1＝0，
得9＋3m－1＝0，解得m＝－．
综上，m＝0或m＝－．
14．解：　x2－2x－＝0，移项得x2－2x＝，
配方得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝，
开方得x－1＝±，
解得x1＝，x2＝－．
①把x＝代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得－(k＋2)＋＝0，
解得k＝；
②把x＝－代入x2－(k＋2)x＋＝0中，
得＋(k＋2)＋＝0，
解得k＝－7．
当k＝或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，
综上所述，k的值为－7或．
15．解：　(1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，解得a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，
∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，
∴x＝±3．
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3．
(2)设x＋＝y，
则原方程可化为：y2－2－3y＝2，
即y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得y＝－1或y＝4，
即x＋＝－1(方程无解，舍去)或x＋＝4，
故x＋＝4．
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