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育才教育集团2024-2025学年度第二学期初二年级期中考试数学试卷
注意事项：
1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将准考证号用2B铅笔填涂完整．
2．全卷共3页．考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下列选项中，可以看作中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（ ）
A．3，4，5 B．9，40，41 C．1，6 D．7，24，25
7．已知关于x的不等式的最小整数解为3，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，BC的长为（ ）．
A． B．4 C． D．8
二、填空题（每题3分，共15分）
9．因式分解：_______．
10．若代数式有意义，则x的取值范围是_______．
11．如图，一艘轮船由海平面上A地出发，要到A地的北偏东方向的C处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达B地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地C，那么，B、C两地相距_______海里．
12．如图，函数和的图象相交于点，则关于x不等式的解集为_______．
13．如图，中．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，线段BF长的最大值是_______．
三、解答题（共61分）
14．（6分）解不等式组：
15．（7分）先化简，再求值：其中．
16．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点．
（1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标；
（2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
（3）请在x轴上找到并画出一点P，使得最小，并写出点P的坐标．
17．（8分）如图，，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为23，求的周长．
18．（9分）灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元．
（1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？
（2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
19．（10分）根据项目素材，探索解决问题．
项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？
项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习．
项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
问题解决
项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的CE是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数．
项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与AB交于点 D．你发现CD满足什么条件时，CD是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
项目三 在中，，°，，的“完美线”与AB交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．
20．（12分）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
（1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接BE，F是BE的中点，连接AF．
①图1中的角有_______个；
②图1中AF与DE的数量关系是_______．
（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转得到，连接BE，F是BE的中点，连接AF．探究AF与DE的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在中将绕点A旋转，得到，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当时，直接写出线段AF的长．
育才教育集团2024-2025初二期中
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D A C B A
8．【解答】解：如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，，过点作，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
点可看成是线段AC绕A点逆时针旋转而得的定点，BC为定长．
当B、P、、四点在同一直线上时，最小．
∴，
由旋转性质可知，，
由条件可知，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．【解答】解：．
10．【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
11．【解答】解：根据余角的定义得：，
由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
即B、C两地相距100海里．
故答案为：100．
12．【解答】解：把代入．
得．
解得．
即A点坐标为．
∵由图象可得，当时，，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
13．【解答】解：过点F作于H，连接DF，
设，则，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
∴AF最小值为，BF的最大值为．
14．【解答】解：．
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
15．【解答】解：原式，a满足．
∴原式．
16．【解答】解：（1）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
（2）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
（3）如图，取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接BP，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
∴点P的坐标为．
17．【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵DE垂直平分线AC，
∴，
∴，
∴；
（2）∵DE垂直平分线AC，，
∴，，
∵的周长为23，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
∴的周长为37．
18．【解答】解：（1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，
解得，
答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元；
（2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，
根据题意得：，
解得：，
又∵，
解得：，
∴，
设利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴w随a的增大而减少，
∴当时，w最大，最大值为14000．
答：坚果礼盒购进200件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元．
19．【解答】解：（1）如图，过点C作，
∵，
∴，
，
∴CD为的“完美线”；
如图，作AB的垂直平分线，交AB于点E，连接CE，
∵为直角三角形，CE为斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴CE为的“完美线”；
（2）当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴CD为的“完美线”；
当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴CD为的“完美线”；
综上分析可知，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，或CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，CD为的“完美线”；
（3）综上分析可知，或2．
20．【解答】解：（1）①∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到，
∴，
∵F为BE中点，
∴，AF是的中位线，也是的中位线，
∴，
∴；
故答案为：4个；
②由①知，AF是的中位线，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图：
∵等边绕点A逆时针旋转，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∵F为BE中点，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）当BE在BC下方时，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，F为BE中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当BE在BC上方时，如图：
∵，，
∴；
综上所述，AF的长为或．

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