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广东省深圳外国语学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的简易图，座位和座椅靠背的夹角，小桌板与座位平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．锐角三角形中每个内角都小于是必然事件
B．翻开数学课本，恰好翻到30页是随机事件
C．竹篮打水属于不可能事件
D．在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行是必然事件
6．如图，两个边长相等的正方形和，将正方形的顶点E与正方形的中心重合，正方形绕点E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为，两个正方形重叠部分的面积为S，则变量S与θ的关系大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，和是分别沿着边翻折形成的，与交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
9．在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则 ．
10．某商场自行车存放处每周存车量5000辆次，其中变速车车费是每辆一次1元，普通车存车费每辆一次0.5元，若普通车存车量为辆次,存车的总收入为元，则和之间的关系式为 .
11．若，，则 ．
12．如图，在中，平分，垂足为，则的长为 ．
13．如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为 ．
三、解答题
14．计算：
(1)；
(2)．
15．先化简， 再求值∶ ，其中 ．
16．背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低(特别是二氧化碳的)排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题：
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量耗电量
开私家车的二氧化碳排放量耗油量
家用天然气的二氧化碳排放量天然气使用量
家用自来水的二氧化碳排放量自来水使用量
(1)若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ．
(2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 增加到 ．
(3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和．
17．尺规作图题
(1)图1，校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)
(2)图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)
18．如图， 在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，作于点G．
(1)证明∶；
(2)若，，求的大小．
19．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张， B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片 张．
（2）根据所学知识，解决如下问题：
已知： ，，的值为 ；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足． 求 的值，怎么解决呢？
小英给出了如下两种方法：
方法1∶ 设，则；
，
，
，
，
，
；
方法2：
∵，
，
，
．
任务：
（3）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若 ，求 的值．
（4）如图，在长方形中，，， E ， F分别是上的点，且 ，分别以为边在长方形外侧作正方形和若长方形的面积为 40，则图中阴影部分的面积和为 ．
20．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围．
倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ；
【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m；
【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结．
① 判断的形状，并证明；
② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ．
参考答案
1．C
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．B
解：A、，故A选项计算错误；
B、，B选项计算正确；
C、，故C选项计算错误；
D、与不是同类项，无法合并，故D选项计算错误．
故选：B．
3．C
解：由题意可得，
，
故选C．
4．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
5．D
解：A．根据锐角三角形的定义，每个内角都小于，是必然事件，原说法正确，故本选项不符合题意；
B．翻开数学课本，可能翻到30页，也可能翻到其它页数，是随机事件，原说法正确，故本选项不符合题意；
C．竹篮是不能打到水的，属于不可能事件，原说法正确，故本选项不符合题意；
D．在纸上任意画两条直线，这两条直线可能平行，也可能相交，是随机事件，原说法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
6．B
解：如图，过点E作于点M，于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴，
由旋转的性质可得，
在和中，
，
∴，
即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．
故选：B．
7．D
解：∵，，
∴，，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
解：连接、，过点D作于H，
∵面积为24，，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
∵，
∴，
∴的值最小值为8．
故选：C．
9．2
解：∵从中随机摸出一个球是白球的概率为，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴是原分式方程的解，
故答案为：2 ．
10．y=-0.5x+5000.
普通车存车量为辆次，则变速车存车量为（5000-x）辆次，
∴存车的总收入为=0.5x+1×（5000-x）=-0.5x+5000.
故填：y=-0.5x+5000.
11．/
解：∵，，
∴
，
故答案为：．
12．6
解：如图，过点作，交于点，
又∵平分，
，
∵
∴，
∴，
由勾股定理得，
，
∴，
，
∴为等腰三角形，
由三线合一得，点为线段的中点，
，
故答案为：6．
13．48
解：如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
∵是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴阴影面积，
故答案为：．
14．(1)2
(2)
（1）
；
（2）
．
15．，2027
解：
，
∵
∴，
∴，
∴原式．
16．(1)
(2)2.7； 8.1； 21.6
(3)小明家这几项二氧化碳排放量的总和为
（1）解：由题意得；
（2）解：∵开私家车的二氧化碳排放量耗油量，
∴耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加；
在中，当时，；当时，；
∴当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从增加到．
（3）解：
．
答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为．
17．(1)见解析
(2)见解析
（1）如图所示，点P即为所求；
（2）如图所示，直角即为所求；
18．(1)见解析
(2)30
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）3；（2）12；（3）；（4）144
解：（1）
，
∴要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）方法1：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
方法2：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（4）由题意得，，
∵，
∴，
∵长方形的面积为 40，
∴，
∴，
设，则，
∴
，
∴图中阴影部分的面积和为144．
20．阅读理解：；实践应用：；拓展探究：①为等腰直角三角形，见解析；②
解：阅读理解：
∵CM为的中线，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
实践应用：如图，延长交于点F，
∵的中点为D，
∴，
∵由题意可得：，
而，
∴，
∴，，
∵，，
∴，是的垂直平分线，
∴．
拓展探究：①延长，使得，连接，如图
∵等腰和等腰
∴
，
∴，
∵点是中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形．
②延长，使得，连接，如图
∵等腰和等腰，
∴
，
∴
，
∵点是中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点F作于点N，过点E作于点H，有
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∴，
即，
，
，
，
∴，
即．
∴
．

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