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重庆市璧山区三校联考2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．二次根式有意义的条件是( )
A． B． C． D．
2．下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．八（3）班七个兴趣小组人数分别为4、4、5、、6、6、7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．估计的运算结果应在（ ）
A．1到2之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
5．饭后小刘散步到明镜石公园，先在公园休息一会儿，然后再跑步回家，下面能反映小刘离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：分）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角为直角的平行四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．顺次连接四边形各边的中点所构成的四边形是平行四边形
7．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离（米）与小亮出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小明的速度是4米/秒； B．小亮出发100秒时到达终点；
C．小明出发125秒时到达了终点； D．小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米．
9．已知直线：与直线：都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的说法个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与端点重合），交于点F，过点F作交于点H，过点H作于点G，连接，．给出下列结论：
①；②；③ ；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题
11．一个多边形的内角和与外角和的差为，这个多边形是 边形．
12．南开中学举行校园歌手大赛，小南同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的得分分别是85分，95分，90分，若依次按的比例确定成绩，则小南的最终成绩是 分．
13．如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是 ．
14．已知点关于轴的对称点为，且在直线上，把直线的图象向右平移2个单位后，所得的直线解析式为 ．
15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ．
16．若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为 ．
17．四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为 ．
18．如图，平行四边形在平面直角坐标系中， ， ，．若点M在平面直角坐标系内，点F在直线上（不在坐标轴上），且以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形，则所有符合条件的点F的坐标为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
(3)先化简，再求值：，其中．
20．学行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路完成以下作图和填空：
(1)如图，在四边形中，点是对角线的交点，过点的直线分别交边，于，，用尺规过点作的垂线，与边，分别相交于，，连接，，，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形．
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
, ,
，
同理可得
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
21．为了解学生对 DeepSeek等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，下面给出了部分信息：
八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：
65，66，70，75，77，81，82，82，82，83
84，87，88，89，92，95，96，98，98，100
九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，88，85，87，86，82．
八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表九年级所抽学生的竞赛成绩统计图
年级 八年级 九年级
平均数 84.5 84.5
中位数 83.5 b
众数 a 79
方差 102.75 122.5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：　　，　　，　　；
(2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？
22．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？
23．如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y：
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质
(3)结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围．
24．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值．
(1)特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值；
(2)一般证明
①时，直接写出_____；
②求出的值；
(3)类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
参考答案
1．B
二次根式有意义的条件是被开方数．
解得．
故选：B．
2．B
（1）、（2）满足对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，符合函数的定义；
（3），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数；
（4），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数；
（5），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数；
故选：B．
3．B
解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，
∴x＝5×7 4 4 5 6 6 7＝3，
∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，
∴这组数据的中位数是：5．
故选：B．
4．C
解：，
∵，
∴，即，
故选：C．
5．C
解：小刘最后跑步回家，因此最后的y值为0，排除A选项；
小刘在公园休息一会儿，因此中间有一段时间y值不变，排除D选项；
小刘散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除B选项，
故选C．
6．D
解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故错误，是假命题；
C、不是正方形两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，故错误，是假命题；
D、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，是真命题，
故选：D．
7．C
解：∵O为的中点，M为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
8．D
解：根据题意，时，小明出发2秒行驶的路程为8米，
所以，小明的速度米秒，故A正确，
先到终点的人原地休息，
秒时，小亮先到达终点，故B正确，
小亮的速度米秒，
（米；
（秒，
小明出发125秒时到达了终点，故C正确，
小亮出发20秒，小亮走了米，小明走了米，
米，
小亮在小明前方12米，故D错误．
故选：D．
9．D
解：①∵直线：与直线：都经过，
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把，代入直线：，可得，
解得，
∴直线：，
把代入直线：，可得，
中，令，则，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
故②正确，符合题意；
③在直线：中，令，则，
∴，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
④点A关于y轴对称的点为，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
∴当的值最小时，点P的坐标为，
故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③④，一共4个．
故选：D．
10．B
解：①连接，延长交于，
∵为正方形的对角线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①错误；
②∵，，
∴，故②正确；
③连接交于，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④若，则，
∴，这与直角三角形的斜边大于直角边矛盾，故④错误；
综上所述，正确的有②③，共个，
故选：B．
11．7/七
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：，
解得：，
这个多边形是7边形，
故答案为：7．
12．90
解：小南的最终成绩为（分）
故答案为：90．
13．/
根据图象得，当时，，
即关于的不等式的解集是．
故答案为：．
14．
解：点关于轴的对称点为，
∴，
∵在直线，
∴，
∴，
∴直线，
把直线向右平移2个单位后，
所得的直线解析式为，
故答案为：．
15．28
解：根据勾股定理得：，
，
正方形的面积是25，
，
的面积为6，即，
，
， 即，
阴影部分的周长为．
故答案为：28．
16．
解：∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴，
解得，
又不等式组，
由得，，
由得，，
∵不等式组的解集是，
∴，
∴，
∴的取值范围为，
∴的整数值为，，，，，
∴满足所有条件的整数之和为，
故答案为：．
17．1或
解：当点E在线段上时，过作交的延长线于点，作交延长线于，如图所示，则四边形是矩形，

∴，，
四边形与四边形是正方形，
，，
，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
在中，由勾股定理得，
∴,
∴（舍去）或（舍去），故此种情况不成立；
如图所示，当点E在延长线上时，过作于点，作交延长线于，
同理可得，，
，
在中，由勾股定理得，
∴,
解得或（舍去）；
如图所示，当点E在延长线上时，过作交直线于点，作交延长线于，
同理可得，，
，
在中，由勾股定理得，
∴,
解得或（舍去）；
综上所述，的长为1或．
故答案为：1或．
18．或或
解：连接，
在中，，
， ，，
，
，
设直线的解析式为，把， 代入，
，
解得：，
直线的解析式为，
①是邻边，点F在射线上时，，
所以点F与B重合，
即，由题意舍去
②是邻边，点F在射线上时，
∴M在射线上，且垂直平分，
∴，
∴；
③是对角线时，作垂直平分线交射线于点，
设
的中点
在中，
，
解得：，
④是对角线时，的垂直平分线经过点，
设
的中点
在中，
，
解得：或（不合题意舍去）
综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或或．
故答案为：或或
19．(1)2
(2)
(3)，
（1）解：
；
（2）
解：
．
（3）
解：


，
当时，原式．
20．(1)作图见解析；
(2)，，．
（1）解：如下图所示，
分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，
两弧分别交于两点，过两点作直线，
直线即为所求，
连接，，，即可；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
, ,，
，
同理可得，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
故答案为：，，．
21．(1)82，，30；
(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；
(3)该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是人．
（1）解：根据八年级学生竞赛成绩可知：82出现次数最多，则众数为82，即，
九年级竞赛成绩中组：（人），
组：6（人），所占百分比为，
组：所占百分比为，
组：人，所占百分比为，则，
∴九年级的中位数为从大到小排列的第个同学竞赛成绩的平均数，
由于，中位数为组第个同学竞赛成绩的平均数,，
故答案为：，，30；
（2）解：八年级学生竞赛成绩较好，理由：
八、九年级的平均分均为分，八年级的中位数高于九年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
（3）解：（人），
答：该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是人．
22．(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元
(2)最少要花3210元钱
（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，
∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进、两种哪吒玩偶所需元，
∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且，
即此次购进至少要花3210钱．
23．(1)
(2)图象见详解，当时，y随x的增大而增大
(3)或
（1）解：过点A作于点E，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当点P在线段上时，由题意得：，则，过点P作于点F，延长交的延长线于点G，如图所示，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
；
当点P在线段上时，如图，
由题意得：，
∴；
综上所述：；
（2）解：所作函数图象如下所示：
∴该函数的一条性质是当时，y随x的增大而增大；
（3）解：当经过点时，则，即，
当经过点时，则，
当经过点时，则，即，
∴要使与该函数图象有1个交点，则需满足或．
24．(1)
(2)①1；②1；
(3)是，
（1）解：当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
则；
（2）解：①当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
∴当，时，，
∴，
∴，
故答案为：1；
②由①知，，，，
则；
（3）解：设直线的表达式为：，
则，
解得
∴，
设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，则点，
由点、的坐标得，，则，
同（2）可求点，则，
，即，
解得：，
则，
当时，，
即直线过定点．

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