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2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
第2章 等式与不等式
问题引入


新知探索


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尝试与发现：
(2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义.
















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几何意义：与矩形周长相等的正方形的边长大于或等于与矩形面积相等的正方形的边长.
从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.一般地，我们有如下结论.

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周长相等的三角形中，正三角形的面积最大.平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大.
想一想：你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？
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例题




例题





例题

分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值.

例题

分析：在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值.


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积定和最小，和定积最大.
例题





例题





例题





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探索与研究：用或其他计算机软件，完成下列数学实验：
(1)任取多组三个正数，，，计算和，比较它们得大小，总结出一般规律；
(2)对四个正数、五个正数做类似的实验，总结出普遍规律.
练习
题型一：利用基本不等式比较大小


练习
方法技巧：
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能.
练习


练习
题型二：利用基本不等式求最值


练习


练习


练习
方法技巧：
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
(4)注意“1”的妙用.
练习


练习


练习
题型三：利用基本不等式证明不等式


练习
方法技巧：
1.可利用基本不等式证明题目的类型
所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明.
2.用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立.
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用.
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组基本不等式模型，再使用.
练习


课堂小结&作业

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