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内蒙古自治区呼和浩特市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知某三角形的三条边长依次为，则该三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，且，则的长是（ ）
A．5 B． C．10 D．15
4．下面的三个问题中都有两个变量：
①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间；
②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长；
③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为核心标准，依据的权重配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最终成绩．小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图所示，则小鱼同学期末评优的最终得分是（ ）
A．9.1 B．9.2 C．9.3 D．9.4
6．已知一次函数，其中与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（ ）
… 0 1 3 …
… 1 5 13 …
A．该函数的图像经过第一、三、四象限
B．函数值随值的增大而减小
C．关于的方程的解是
D．关于的不等式的解集为
7．如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（ ）
A．10 B．8 C．12 D．
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是 ，平均数是 ．
10．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点，点的横坐标是，则点的坐标是 ．点是直线上一动点．当最短时，的面积是 ．
12．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③当点是的中点，且时，四边形是矩形．其中正确的是 ．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)已知，，求的值．
14．为切实提升学生体质健康水平，某校开展学生体育综合素质测评工作．学校从七、八年级学生群体中，采用随机抽样的方式，各抽取80名学生的测评成绩（成绩以百分制计分），随后对抽样数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．七年级80名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）如图所示：
b．七年级80名学生测评成绩在这一组的是71，72，72，73，74，74，75，76，76，77，77，77，77，78，78，79，79，79．
c．七、八年级80名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 74.3 m 81
八年级 75 79 78
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中m的值是___________，并补全频数分布直方图．
(2)八年级小乐同学的测评成绩是77分，他的成绩高于本年级测评成绩的平均水平，所以他认为自己的成绩高于本年级一半以上学生的成绩．请判断他的说法是否正确，并说明理由．
(3)若该校七年级共有560名学生，测试的成绩60分及以上为合格，请你估计该校七年级学生测评成绩的合格人数．
15．在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为．
(1)直接写出与的数量关系；
(2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号）
16．如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的面积．
17．“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题．
内容
材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．
材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐．
任务一 （1）根据图像求出与的函数关系式．
任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．
18．【课本再现】
如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动．
【问题发现】
（1）①线段之间的数量关系是_______________；
②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________．
【拓展应用】
（2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明．
【类比迁移】
（3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积．
参考答案
1．C
解：A：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式；
B：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义；
C：根指数为2，且被开方数恒大于0（无论取何值），满足二次根式的条件；
D：根指数为2，但被开方数需满足才有意义，由于题目未限定的范围，无法保证其恒为非负数，因此不能直接判定为二次根式；
故选：C．
2．A
解：∵，
∴该三角形是直角三角形，
故选：A．
3．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意；
③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意；
故选：C．
5．D
解：由图可知德、智、体、美、劳的得分分别为、、、、，权重分别为、、、、．
总权重为．
根据加权平均数公式，最终得分
故选：D ．
6．D
解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项B错误；
∴，
当时，，
∴该函数的图像经过第一、二、三象限，故选项A错误；
当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误；
∵的值随值的增大而增大，且当时，，
∴不等式的解集为；故选项D正确；
故选：D．
7．A
解：∵四边形为矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
，
∴、、在同一直线上，
，
设，则，
由勾股定理可得，即，
解得：，即，
，
，
，
，
，
则的面积是，
故选：A．
8．B
解：当时，图象经过一三四象限，经过一三象限，此时4个选项均不符合题意；
当时，图象经过一二三象限，经过二四象限，此时B选项符合题意．
故选：B．
9． 4 6
解：方差公式中的求和项：共有4个数据项，
分别为，每个数据点对应一个样本，
样本容量为4，
方差公式中的每个数据点均减去同一个数（即平均数），
根据公式，每个数据点被减去的数为6，
平均数．
故答案为：4，6．
10．西北方向
解：由题知，海里，海里，海里，，
，
，
是直角三角形，且，
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北方向
11． 4
解：把代入得到，，
∴
把，代入得到，
，
解得
∴直线，
当时，，
∴点的坐标是，
在中，，
∴
当最短，即时，
则
即，
∴，
∴的面积是
故答案为：，4
12．①②③
∵，
∴，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
故②正确．
∵，点是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形．故③正确．
故答案为：①②③．
13．(1)
(2)
(3)
（1）解：
（2）解：
（3）解：
当，时，
原式
14．(1)77，图见解析
(2)不正确，理由见解析
(3)462人
（1）解：七年级这一组的频数为，
将七年级这80名学生的成绩从小到大排列处40位和41位两个数的平均数为，
即中位数，
补全频数分布直方图如图所示：
（2）解∶ 小乐的说法不正确，
因为抽取的八年级学生测评成绩的样本中位数为79分，可以估计，在这次体育综合素质测评工作中，八年级大约有一半学生的测评成绩高于79分，一半学生的测评成绩低于79分．
小乐的测评成绩为77分，低于中位数79分，可以推测他的成绩低于本年级一半以上学生的成绩，因此他的说法不正确．
（3）解： （人），
答：据估计该校七年级学生测评成绩的合格人数约为462人．
15．(1)
(2)米
（1）解：由题意及图，得
∴，，
∴
∴，
∴．
（2）由（1）知，米，
∴，
在中，
（米）
答：旗杆的高度为米．
16．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴．
17．（1）（2），甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大
解：（1）依题意，设与的函数表达式为，
把代入解析式，
得，
∴与的函数表达式为；
（2）依题意，乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，
∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐，
∴，
由（1）得，
则，
∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴当时，最大，最大值为元，
（罐），
即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时，获得的利润最大．
18．（1）①②（2），证明见解析（3）或
解：（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
连接，如图2：
∵为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）设，
①当在线段上时，如图3，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又由（2）易知，
∴，
∴，
解得，即，
；
②当点在延长线上时，
同理可证，
∴，
又在中，
，
∴，
解得，即，
；
故的面积为或．

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