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山东省烟台市2024—2025学年下学期七年级数学期末试卷（五四学制）
一、单选题
1．下列成语描述的事件中，属于随机事件的是（ ）
A．百步穿杨 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．水中捞月
2．下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．如果，那么 D．钝角三角形中有两个锐角
4．如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则下列不等式成立的是（）
A． B． C． D．
6．如图，在的正方形网格中，线段的端点在格点上．在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，以直线上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，C，D，连结，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000
落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299
则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，中，，D，E分别是和中点，分别过点D，E作和的垂线交于F，G，若，，则的长度是（ ）
A．1 B． C． D．
12．一次函数与的图象位置如图，下列结论：
①随x的增大而减小；
②当时，；
③；
④当是以为底边的等腰三角形时，．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
二、填空题
13．若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ．
14．现有5张卡片，分别写有数字，，1，3，4，它们除数字外其他均相同，将它们背面朝上，从中任抽一张，抽到写有负数卡片的概率为 ．
15．已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是 ．
16．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D，C的对应点分别为，，若比的度数小，则的度数为 ．
17．某商场打折销售一款风扇，若每台风扇按标价的六折出售将亏损10元，而按标价的九折出售将盈利95元，则每台风扇的成本价为 ．
18．如图，，点C在OA上，且，P和Q分别是OB和OA上的动点，则长度的最小值是 ．
19．如图，在中，，是角平分线，，交于点E，若，，则的长度为 ．
20．定义一种运算“”：，如，．按照这种运算规则，若，则x的取值范围是 ．
三、解答题
21．解方程（或不等式）组：
(1)；
(2)，并将解集在数轴上表示出来．
22．如图，已知，请按下列要求解答问题：
(1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的周长是，的周长是，求的长．
23．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏．若摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由；
（2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，问取出了多少黑球？
24．如图，是的角平分线，过点C作的平行线，交的延长线于点E，D在的延长线上，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
25．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，对现有照明系统升级改造．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共30盏，且甲种路灯的数量多于乙种路灯数量的，但不超过乙种路灯数量的，若购买总费用为w元，请通过计算说明一共有几种购买方案，并求出所需费用最少是多少．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，与直线交于点，点的横坐标为．

(1)求直线的函数关系式；
(2)求的面积；
(3)设点是第一象限直线上的一动点，连接，当是以为底角的等腰三角形时，求点的坐标．
27．阅读理解：如图1，四边形中，若，，则平分．
小颖通过思考，形成如下思路：
作于点E，于点F，通过证明得，进而证明该命题．
(1)请根据小颖的思路，完成该命题的证明；（你也可以选用其它思路进行证明）
(2)上题中，若，求证：；
(3)填空：如图2，四边形中，，．若，，则的长度为________．
参考答案
1．A
解：A、百步穿杨，形容射箭技术高超，能在百步外射中杨柳叶．虽然技术高超，但每次射箭的结果仍存在不确定性（可能射中或未射中），属于随机事件，则此项符合题意；
B、旭日东升，太阳每日从东方升起是必然发生的自然现象，属于必然事件，则此项不符合题意；
C、瓜熟蒂落，形容瓜成熟后，瓜蒂自然脱落是必然的生物学过程，属于必然事件，则此项不符合题意；
D、水中捞月，水中捞月是尝试捞取月亮的倒影，显然无法实现，属于不可能事件，则此项不符合题意；
故选：A．
2．D
解：∵x=1，y= 1，
∴x＋y＝1＋（ 1）＝0，x y＝1 （ 1）＝2，x 2y＝1 2×（ 1）＝3，故选项D正确．
故选：D．
3．B
解：A、对顶角相等：根据几何基本性质，对顶角一定相等，是真命题，不符合题意；
B、同位角相等：同位角相等的前提是两直线平行，未说明此条件时命题不成立，是假命题，符合题意；
C、若，则：等式两边平方必然相等，是真命题，符合题意
D、钝角三角形中有两个锐角：钝角三角形的一个角大于，另两个角之和小于，必为锐角，是真命题，不符合题意；
故选：B．
4．C
解：A、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意；
B、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意；
C、添加条件，结合条件，，不可以利用证明这两个三角形全等，符合题意；
D、添加条件，可得：，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意；
故选：C．
5．A
解∶A．由，两边同除以正数2，不等号方向不变，故，成立．
B．由，两边减3，不等号方向不变，应为，而选项B为，不成立．
C．由，若两边乘正数3得，但与的大小需进一步分析．例如，当，时，，，此时，故选项C不一定成立．
D．由，两边乘得，再加2得，而选项D为，方向错误，不成立．
综上，只有选项A成立．
故选∶A．
6．B
解：如图，取格点，
∴，，
∴，为等腰三角形；
∴在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为；
故选：B.
7．C
解：∵，
∴，，
由作图可得：，
∴，，，
∴．
故选：C．
8．B
解：∵先由表格数据得到，
∴，
故选：B．
9．C
解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得：
，
故选：C．
10．C
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有2个整数解，即2，3，
∴，
故选：C．
11．D
解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵点D，E作和的垂线交于F，G，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D
12．D
解：∵一次函数经过第一、二、四象限，
∴，
∴随x的增大而减小；所以①正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
结合图象可得：当时，，故②错误；
∴时，，
整理得，所以③正确；
如图，过作于，
∵，
∴，
当时，，，
∴，，
∵当时，
∴
∴即．故④正确；
故选：D．
13．7
解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
解得，
故答案为：7．
14．
解：根据题意可知，张卡片中，写有负数的卡片共有张，
∴，
故答案为：．
15．．
解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案为：．
16．/54度
解：∵纸片是长方形，
∴，
∴，
∵比的度数小，
∴，
解得，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
17．元
解：设每台风扇的标价为元，
根据题意可得，，
解得，
∴，
∴每台风扇的成本价为元，
故答案为：元．
18．
解：如图所示，过点C作点C关于射线的对称点D，连接交射线于点E，点D作于点Q，交射线于点P，连接，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，，
∴当点D、P、Q三点共线时，取最小值，又点P，Q均为动点，∴当时，取最小值，最小值为的长，∵为等边三角形，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
19．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过点D作于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
20．
解：当时，，
∵，
∴，
此时无解；
当时，，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，x的取值范围是．
故答案为：．
21．(1)
(2)，数轴见解析
（1）解：，
得，，即，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：，
在数轴上表示如下：
22．(1)见解析；
(2)的长为．
（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图：
（2）解：∵的周长是，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
答：的长为．
23．（1）不公平．小明获胜的概率为，小红获胜的概率为（2）4．
解：(1)不公平．
∵不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，
∴小明获胜的概率为：，小红获胜的概率为：=；
(2)由题意可得：设取出了x个黑球，则
13 x=5+x，
解得：x=4.
答：取出4个黑球．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵是的角平分线，
∴,
∵，
，
，
∵，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
又，
∴，
，
∵，
，
∵，
，
∴，
∴．
25．(1)甲种路灯的单价为60元，乙种路灯的单价为80元
(2)一共有3种购买方案，所需费用最少是2200元
（1）解：设甲种路灯的单价为a元，乙种路灯的单价为b元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲种路灯的单价为60元，乙种路灯的单价为80元；
（2）解：设购买甲种路灯x盏，则购买乙种路灯盏，
根据题意得：，
∵甲种路灯的数量多于乙种路灯数量的，但不超过乙种路灯数量的，
∴，
解得：，
∵x为整数，
∴x取8，9，10，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴一共有3种购买方案，所需费用最少是2200元．
26．(1)直线的函数关系式为；
(2)的面积为；
(3)点的坐标为或．
（1）解：∵点在直线上，且点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
答：直线的函数关系式为．
（2）解：在中，
当时，由得，
∴，
∴，
∴，
答：的面积为．
（3）解：根据题意，分以下两种情况：
当时，如图，
作，则点为的中点
∴，
∴点的横坐标为，
在中，
当时，，
∴，
当时，如图，
∵点是第一象限直线上的一动点，
设点，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
答：点的坐标为或．
27．(1)见详解
(2)见详解
(3)
（1）解：作于点E，于点F，如图所示：
依题意，小颖的思路：
∵，
∴
∵，，
∴
∵
∴
∴；
或者∵平分，，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
则，
由（1）得，，
∵平分．
∴，
∴，
∴
则，
∵
∴
则
∴
即．
（3）解：过点作，过点作的延长线，如图所示：
∵四边形中，，
∴
∵
∴
∵过点作，过点作的延长线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
解得，
则，
∴，
则的长度为．

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