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内蒙古乌兰察布市2024-2025学年下学期七年级数学期末考试卷
一、单选题
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3 B． C． D．
2．下列有关端午节的调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查全班同学期待的端午节活动
B．超市售货员调查货架上粽子的保质期
C．调查全市中小学生对端午节习俗的了解程度
D．调查七（1）班同学对不同口味粽子的喜好程度
3．劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行
4．设“”“”“”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．为展示我国强大的军力，面向青少年开展爱国主义教育，某科技馆在广场上空组织飞机模型公益活动．如图所示的是飞机模型试飞过程中的部分飞行队形，如果A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，那么飞机模型B的平面坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．为鼓励学生发展课外兴趣，助力全面发展，某中学创设多种多样的社团，根据社团类型分为“艺术型”和“操作型”两大类．在为期4天的报名时间中两类社团的报名人数如图所示，其中每名学生只能加入一类社团，则下列结论不正确的是（ ）
A．这4天中两类型社团报名人数相差最大的一天相差了16人
B．两社团报名人数总和最多的一天是第2天
C．“艺术型”社团比“操作型”社团更受欢迎
D．“艺术型”社团这4天报名人数的最大值与最小值相差8人
7．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若的值为5，则的值为4；结论Ⅱ：不论取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对
8．我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．已知是方程的解，则代数式 ．
10．蒙古剧起源于20世纪30年代，结合了蒙古民间舞蹈和音乐，反映了蒙古族人民的生活和文化．育才中学开设蒙古剧课程，并把每次课程的时长绘制成如图所示的频数分布直方图，由图可知，课程时长在分钟范围内的次数占总课程次数的百分比为 ．
11．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，，，则的度数为 ．
12．对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中，例如，．若，则a的取值范围是 ．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
14．小明设计了一款程序，可以用程序命令绘制出对应的图形及变换后的图形．如图①，是一个正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动．
(1)请在图①中画出程序生成的三角形及经过变换后的三角形；
(2)小明想用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，，请写出需要输入的点A，B，C的坐标．
15．下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，由①，得． 第一步
把③代入②，得． 第二步
整理得． 第三步
解得，即． 第四步
把代入③，得．
则方程组的解为 第五步
任务一：
（1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”）
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：
（2）该方程组的正确解为______．
任务三：
（3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议．
16．2025年4月23日是第30个世界读书日．学校为营造“爱读书、多读书、读好书”的浓厚氛围，开展了“书香校园，阅读有我”的读书活动．在5月份，为了解七年级学生的读书情况，随机调查了七年级40名学生的读书数量（单位：本），并进行了以下的整理与分析：
【数据收集】
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4 2 2 3 3 4 4 4 4 3 4
4 5 6 7 3 6 7 5 8 3 4 7 3 4 6 5 5 5 7 8
【数据整理】
本数x
组别 A B C D
频数 4 m 12 n
【数据分析】
绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图（如图）．
根据统计信息回答问题：
(1)在统计表中，______，______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，C组对应扇形的圆心角的度数为______度；
(3)若该校七年级学生人数为240人，请根据上述调查结果，估计该校七年级学生读书数量在4本以上的人数．
17．商场购进了两种型号的耳机．已知购进个型耳机和个型耳机花费元，购进个型耳机和个型耳机花费元．
(1)购进个型耳机需要花费______元，购进个型耳机需要花费______元；
(2)若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进型耳机多少个？
(3)在（）的条件下，若该商场分别以元个，元个的售价销售完，两种型号的耳机共个，能否实现利润不少于元的目标？若能，请通过计算写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
18．【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：．
证明：如图2，过点作，
，
，，
，
，
．
即．
可以运用以上结论解答下列问题：
(1)【类比应用】
①如图3，已知，已知，，求的度数；
②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
(2)【拓展应用】
如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数
参考答案
1．D
A、3是整数，属于有理数，不符合题意；
B、是分数，可表示为整数之比，属于有理数，不符合题意；
C、，结果为整数，属于有理数，不符合题意；
D、是无限不循环小数，不能表示为整数之比，属于无理数，符合题意，
故选：D．
2．C
解：A项：全班同学人数较少，适合全面调查，无需抽样，
B项：检查粽子保质期需逐一核查，避免遗漏过期产品，应全面调查，
C项：全市中小学生数量庞大，全面调查难度大，适合通过抽样反映整体情况，
D项：班级人数有限，可直接全面调查，
故选：C．
3．C
解：∵工具的两个同旁内角均为，
∴两个角的和为180度，
∴两直线平行；
故选C．
4．A
解：由第一个图可知，，
即，
由第二个图可知，，
即，
，
故选：A．
5．D
解：根据A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，可知坐标原点位置如图所示：
飞机模型B的平面坐标是，
故选：D．
6．D
解：A、第一天相差（人）；第二天相差（人）；第三天相差（人）；第四天相差（人），因此这4天中两类型社团报名人数相差最大的一天是第二天，相差了16人，故该选项不符合题意；
B、第一天（人）；第二天（人）；第三天（人）；第四天（人），因此两社团报名人数总和最多的一天是第2天，故该选项不符合题意；
C、“艺术型”社团报名人数（人），“操作型”社团报名人数（人），因此“艺术型”社团比“操作型”社团更受欢迎，故该选项不符合题意；
D、“艺术型”社团这4天报名人数的最大值与最小值相差（人），故该选项错误，符合题意．
故选：D．
7．A
解：当时，，
∴，
解得，故结论Ⅰ正确；
由题意得，，
∴，故结论Ⅱ正确，
故选：A．
8．C
解：设在第2根绳子上的打结数至少是个．
根据题意可知，从右到左的数分别为3，，，所以有
解得：
因为打结数为整数，所以最少为4个．
故选：C
9．
解：∵是方程的解，
∴，
∴
，
故答案为：．
10．
解：由题意可得：课程时长在分钟范围内的次数占总课程次数的百分比为：
，
故答案为：．
11．
解：∵，
∴．
∵,
∴．
故答案为：．
12．
解：当时，，，
∴，
解得，
∴，
当时，，，
∴，
解得，
∴无解，
当时，，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，a的取值范围是．
13．（） ； （）．
解：（）
；
（），
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为．
14．(1)画图见解析
(2)，，
（1）解：如图，，即为所求；
（2）解：小明用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，，
∴，，.
15．（1）①代入 ②三；去括号时没有变号 （2） （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）
（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法，
故答案为：代入；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为．
故答案为：三，去括号时没有变号；
（2）解：，由①，得．
把③代入②，得．
整理得．
解得，即．
把代入③，得．
则方程组的解为
故答案为：
（3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）．
16．(1)18，6，
(2)108
(3)该校七年级学生读书在4本以上的人数为108人．
（1）解：由条形统计图可得：，
，
（2）解：，，
故答案为：．
（3）解：∵40人中共有名学生读书在4本以上，
∴（人）
答：该校七年级学生读书在4本以上的人数为108人．
17．(1)，；
(2)最多可购进型耳机个；
(3)能；商场有三种采购方案型耳机个，型耳机个；型耳机个，型耳机个；型耳机个，型耳机个．
（1）解：设购进个型耳机需要花费元，购进个型耳机需要花费元，
根据题意得，，解得，
∴购进个型耳机需要花费元，购进个型耳机需要花费元，
故答案为：，；
（2）解：设型耳机个，则型耳机个，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可购进型耳机个；
（3）解：能，理由如下：
设购进型耳机个，则购进型耳机个，
根据题意得：，
解得：，
∵，
∴，
∵为整数，
∴可取，或，对应的值分别为，或；
∴能实现利润不少于元的目标，该商场有三种采购方案：
型耳机个，型耳机个；
型耳机个，型耳机个；
型耳机个，型耳机个．
18．(1)①；②，理由见解析
(2)
（1）解：①如图，过点作，
，
，，
，
，
，
即．
解：②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
由（1）可知，，
由材料的结论可知，，
．

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