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2.3 等腰三角形的性质定理（2）
浙教版八年级上册
1.等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线。
2、等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等.
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
几何语言：
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C
温故知新：
A
B
C
如图，在△ABC中，AB=AC,直线AD是△ABC的对称轴.
A
B
C
D
猜想：线段AD有几种意义？
.
.
A
B
C
D
BD=CD
∠BAD =∠CAD
∠ADB =∠ADC=900
线段AD的三种意义：
1.AD是顶角∠BAC 平分线
2.AD是底边BC上的中线
3.AD是底边BC上的高线
.
.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合。
简称“等腰三角形三线合一”
直线AD是等腰△ABC的对称轴
A
B
C
D
.
.
“等腰三角形三线合一”什么意思，几种情况？
（1）如果AD是等腰三角形顶角的平分线，
那么AD也是 、 .
（2）如果AD是等腰三角形底边上的中线，
那么AD也是 、 .
（3）如果AD是等腰三角形底边上的高线，
那么AD也是 、 .
A
B
C
D
底边上的高线
底边上的中线
顶角的平分线
底边上的高线
底边上的中线
顶角的平分线
“等腰三角形三线合一”三种情况：
＂等腰三角形三线合一＂的符号表达
A
D
C
B
1
2
A
D
C
B
1
2
(1)∵AB=AC，∠1=∠2(已知)
∴________________
＂等腰三角形三线合一＂的符号表达
AD⊥BC，BD=CD
(2)∵AB=AC，AD⊥BC (已知)
∴________________
∠1=∠2 ，BD=CD
(3)∵AB=AC，BD=CD (已知)
∴________________
∠1=∠2 ， AD⊥BC
（等腰三角形三线合一）
（等腰三角形三线合一）
（等腰三角形三线合一）
等腰
三角形
顶角平分线
底边上的高线
底边上的中线
等腰三角形三线合一
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合
等腰三角形腰上的高线，腰上的中线，底角的平分线是否一定互相重合？
等腰直角三角形
┑
45°
45°
等边三角形（正三角形）
60°
60°
60°
非等腰三角形一边上的高线，该边上的中线，该边所对的角的平分线是否三线合一？
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，
等腰三角形腰上的高线，腰上的中线，底角的平分线不一定互相重合。
等腰三角形（腰≠底边）
等边三角形（腰=底边）
非等腰三角形
非等腰三角形一边上的高线，该边上的中线，该边所对的角的平分线两两不重合
┐
┐
┐
┐
┐
┐
A
B
C
D
A
B
C
D
┓
A
B
C
D
A
B
C
D
1、等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合。
2、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
3、等腰三角形底边上的中线一定垂直于底边。
1.判断对错
（X）
（√）
（√）
学以致用：
例1： 如图，已知点D在△ABC 的内部，连结AD、BD、CD，若AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求证：AD⊥BC.
证明：如图，延长AD，交BC于点E
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD
在△ABD 和△ACD 中
‘
∴ △ABD ≌ △ACD （ASA）
∴AB=AC
∵AE平分∠BAC
∴AE⊥BC
即AD⊥BC（等腰三角形的三线合一）
E
例2 已知线段a, h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h.
h
a
作法:
1.作线段BC=a.
2.作BC的中垂线m,交BC于点D.
3.在直线 m上截取DA=h,连接AB,AC.
△ABC就是所求的等腰三角形.
D
B
C
h
A
10
50°
4
当堂检测：
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，在△ABC中，AB=AC.
(1)若AD平分∠BAC，BD=4， 则CD= .
(2)若BD=CD，∠BAC=100°，则∠CAD= .
(3)若AD⊥BC于点D，CD=5，则BC= .
.
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点
到这条线段两端点的距离相等
C
.
3.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC, 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）

=40°
又∵AD⊥BC（已知）
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一）
∴∠BAD=∠CAD=50°
A
B
D
C
∟
4．如图，AD是等边△ABC的中线，点E在AC上，AD=AE，
则∠EDC的度数为（　　　）
A 150 B 200 C 250 D 300
A
连续递推，豁然开朗
A
B
C
D
E
等边三角形--------每个内角都是600
5.在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
A
B
C
D
E
F
方法一：证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
∴∠BED＝∠CFD
又∵D是BC中点（已知）
∴BD＝DC
∵AB＝AC（已知）
∴∠B＝∠C（等边对等角）
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
BD＝DC（已证）
∴ △BDE ≌ △CDF（AAS）
∴DE＝DF
方法二：连AD 。
∵AB＝AC，BD＝DC（已知）
∴AD是∠BAC的平分线。
（等腰三角形三线合一）
又∵DE⊥AB DF⊥AC
∴DE＝DF
（角平分线上的点到这个
角的两边距离相等）
6.如图，点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，
求证：BD=CE
法1
∵AB=AC , AD=AE
∴∠B=∠C , ∠ADE=∠AED
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(AAS)
∴BE=CD
∴BE-DE=CD-DE
即BD=CE
。
6.如图，点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE
H
过A作AH ⊥ BC于H
∵ AB=AC , AD=AE
∴ BH=CH , DH=EH
∴BH-DH=CH-EH
即BD=CE
法2
等量减等量，其差相等；等量加等量，其和相等。
谢谢
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