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1．1　集　合
1．1.1　集合及其表示方法
第1课时　集合的概念
新课导入 学习目标
　　在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类．例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识． 1.通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系．2．会利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题．3．识记常用数集的表示符号．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
研究下面的例子，回答问题：
(1)2025级聪明的学生；
(2)的近似值；
(3)直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点；
(4)所有奇数．
思考1　以上各例的研究对象是什么？
提示：分别研究学生、近似值、点、奇数．
思考2　哪个例子中的对象划分标准不确定？
提示：(1)、(2)所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰．
思考3　(3)、(4)例子中的对象有什么共同特征？
提示：两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体．
[知识梳理]
1．集合：把一些能够__________、__________对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母________________表示．
2．元素：组成集合的__________都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．
3．元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 ________ a属于A
不属于 如果a不是集合A的元素 ________ a不属于A
　点拨　符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．
4．空集：________任何元素的集合称为空集，记作________．
[答案自填] 确定的　不同的　A，B，C，…　每个对象　a∈A　a A　不含　
[例1] (1)(多选)下列对象能构成集合的有(　　)
A．接近于2 025的所有正整数
B．小于－3的实数
C．未来10年内的房价趋势
D．点M(3，2)与点N(4，3)
(2)设不等式3－2x<0的解集为M，则下列判断正确的是(　　)
A．0∈M，2∈M B．0 M，2∈M
C．0∈M，2 M D．0 M，2 M
【解析】　(1)对于A，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合；
对于B，小于－3的实数是确定的，能构成集合；
对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；
对于D，点M(3，2)与点N(4，3)是两个不同的点，是确定的，能构成集合．
(2)当x＝0时，3－2x＝3>0，故0 M，排除A，C；当x＝2时，3－2x＝－1<0，故2∈M，排除D.故选B.
【答案】　(1)BD　(2)B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)一组对象能构成集合的两个条件
①能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
②该组对象是不同的．
(2)判断元素和集合关系的两种方法
①直接法：集合中的元素是直接给出的．
②推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
[跟踪训练1] (1)设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A．a∈M B．a M
C．a＝M D．a≠M
解析：选B.因为<2，不符合集合M中元素的特征，所以a M.
(2)设集合D是由满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1______D，(－1，1)______D．
解析：因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1不是有序实数对，所以－1 D.
因为(－1)2＝1，所以(－1，1)是满足方程y＝x2的有序实数对，所以(－1，1)∈D.
答案： 　∈
[知识梳理]
1．集合元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是________的．
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是________的．
(3)无序性：集合中的元素可以________________．
2．集合的分类
(1)集合
(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
[答案自填] 确定　不同　任意排列　有限
无限
[例2] (1)设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中元素个数为(　　)
A．6 B．3
C．4 D．5
(2)已知集合A中含有两个元素a和a2，若 1∈A，则实数a的值为________．
【解析】　(1)由集合中元素的互异性可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素．故选D.
(2)若1∈A，则a＝1或a2＝1，
即a＝±1.
当a＝1时，集合A中只含有一个元素1，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
【答案】　(1)D　(2)－1
母题探究　若本例(2)条件变为：已知集合A中含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，a＝1或a＝a2.
当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，
所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去).
综上可知，a＝0.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
根据集合中元素的特征求值的步骤
INCLUDEPICTURE "../../生物/23BC2A.TIF" \* MERGEFORMAT
注意　判断两个集合相等要注意其中的元素不一定是按顺序对应相等的.
[跟踪训练2] (1)下列说法中正确的是 (　　)
A．单词“book”的所有字母组成的集合的元素共有4个
B．由元素3，构成的集合与由元素3，2构成的集合是相等的
C．将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合
D．由元素3，4构成的集合与由(3，4)构成的集合是相等的
解析：选B.单词“book”中共有3个不同的字母，故组成的集合中有3个元素，A 不正确．因为＝2，所以由元素3，构成的集合与由元素3，2构成的集合是相等的，B正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成集合的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关，C不正确．元素3，4是数，(3，4)表示点，两者构成的集合不同，D不正确．
(2)已知集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝________．
解析：因为P＝Q，所以a2＝4，所以a＝±2.
答案：±2
[知识梳理]
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ______ ______ ______ ______ ______
[答案自填] N　N＋或N*　Z　Q　R
[例3] (1)(多选)下列关系中正确的为(　　)
A．∈Q　　　　　 B．－1 N
C.π R　 D．|－4|∈Z
(2)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A.3.14 B．－2
C. D．
【解析】　(1)因为是无理数，所以 Q，故A错误；－1 N，故B正确；因为π是实数，所以π∈R，故C错误；因为 |－4|＝4是整数，所以|－4|∈Z，故D正确．
(2)由题意知a应为无理数，故a可以为.
【答案】　(1)BD　(2)D
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
常用数集之间的关系
[跟踪训练3] 下列结论中，不正确的是(　　)
A.若a∈N，则－a N
B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q
D.若a∈R，则a3∈R
解析：选A.当a＝0时，－a∈N，故选A.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.下列元素与集合的关系中，正确的是(　　)
A．－1∈N B．0 N＋
C. Q D．π2∈Z
解析：选B.－1 N，0 N＋，∈Q，π2 Z.故选B.
2.(多选)(2025·大连月考)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A.1～10之间的所有奇数
B.某校2025级大学一年级学生
C.中国参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会的高个子运动员
D.直线y＝2x＋1上的所有的点
解析：选ABD.由于集合中的元素满足确定性，A，B，D选项中的对象均满足确定性，而C选项中，高个子运动员没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合．故选ABD.
3.已知集合A中有两个元素a2和a－1，集合B中有两个元素0和－1，若A＝B，则a＝　　　　．
解析：由于A＝B，且a2≥0，
所以解得a＝0，且符合题意．
答案：0
4.已知集合P中有三个元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P中的元素，则实数a的值为　　　　．
解析：依题意2a＋1＝0或a2－1＝0，解得a＝－或a＝±1.当a＝－时，a2－1＝－，符合题意；当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1， 不满足集合中元素的互异性，舍去．综上，实数a的值为－或1.
答案：－或1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习：集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合之间的关系．
2.须贯通：(1)集合与元素的关系，a∈A或a A这两种情况必有一种且只有一种成立；
(2)求集合中的参数时常用到分类讨论思想．
3.应注意：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素；
(2)集合中易忽略元素的互异性．
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第一章　集合与常用逻辑用语
新课导入 学习目标
　　在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类．例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识． 1.通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系．
2．会利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题．
3．识记常用数集的表示符号．
思考1　以上各例的研究对象是什么？
提示：分别研究学生、近似值、点、奇数．
思考2　哪个例子中的对象划分标准不确定？
提示：(1)、(2)所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰．
思考3　(3)、(4)例子中的对象有什么共同特征？
提示：两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体．
[知识梳理]
1．集合：把一些能够__________、__________对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母________________表示．
2．元素：组成集合的__________都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．
确定的　
不同的
A，B，C，…　
每个对象
3．元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 ________ a属于A
不属于 如果a不是集合A的元素 ________ a不属于A
点拨　符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．
4．空集：________任何元素的集合称为空集，记作________．
a∈A　
a A　
不含　

[例1] (1)(多选)下列对象能构成集合的有(　　)
A．接近于2 025的所有正整数
B．小于－3的实数
C．未来10年内的房价趋势
D．点M(3，2)与点N(4，3)
√
√
【解析】　对于A，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合；
对于B，小于－3的实数是确定的，能构成集合；
对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；
对于D，点M(3，2)与点N(4，3)是两个不同的点，是确定的，能构成集合．
(2)设不等式3－2x<0的解集为M，则下列判断正确的是(　　)
A．0∈M，2∈M B．0 M，2∈M
C．0∈M，2 M D．0 M，2 M
【解析】　当x＝0时，3－2x＝3>0，故0 M，排除A，C；当x＝2时，3－2x＝－1<0，故2∈M，排除D.故选B.
√
(1)一组对象能构成集合的两个条件
①能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
②该组对象是不同的．
(2)判断元素和集合关系的两种方法
①直接法：集合中的元素是直接给出的．
②推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
√
(2)设集合D是由满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1______D，(－1，1)______D．
解析：因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1不是有序实数对，所以－1 D.
因为(－1)2＝1，所以(－1，1)是满足方程y＝x2的有序实数对，所以(－1，1)∈D.
　
∈
二　集合分类、元素的特征及应用
[知识梳理]
1．集合元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是________的．
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是________的．
(3)无序性：集合中的元素可以________________．
确定　
不同　
任意排列
(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
有限
无限
[例2] (1)设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中元素个数为(　　)
A．6 B．3
C．4 D．5
【解析】　由集合中元素的互异性可知，集合A中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素．故选D.
√
(2)已知集合A中含有两个元素a和a2，若 1∈A，则实数a的值为________．
【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1，
即a＝±1.
当a＝1时，集合A中只含有一个元素1，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
－1
母题探究　若本例(2)条件变为：已知集合A中含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，a＝1或a＝a2.
当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，
所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去).
综上可知，a＝0.
根据集合中元素的特征求值的步骤
注意　判断两个集合相等要注意其中的元素不一定是按顺序对应相等的.
√
(2)已知集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝________．
解析：因为P＝Q，所以a2＝4，所以a＝±2.
±2
三　几种常见的数集
[知识梳理]
数集 自然
数集 正整
数集 整数集 有理
数集 实数集
符号 ______ ______ ______ ______ ______
N　
N＋或N*　
Z　
Q　
R
√
√
√
常用数集之间的关系
[跟踪训练3] 下列结论中，不正确的是(　　)
A.若a∈N，则－a N
B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q
D.若a∈R，则a3∈R
解析：当a＝0时，－a∈N，故选A.
√
课堂巩固自测
√
2.(多选)(2025·大连月考)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A.1～10之间的所有奇数
B.某校2025级大学一年级学生
C.中国参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会的高个子运动员
D.直线y＝2x＋1上的所有的点
解析：由于集合中的元素满足确定性，A，B，D选项中的对象均满足确定性，而C选项中，高个子运动员没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合．故选ABD.
√
√
√
3.已知集合A中有两个元素a2和a－1，集合B中有两个元素0和－1，若A＝B，则a＝　　　　．
0
4.已知集合P中有三个元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P中的元素，则实数a的值为　　　　．
1.已学习：集合的概念、集合中元素的特征、元素与集合之间的关系．
2.须贯通：(1)集合与元素的关系，a∈A或a A这两种情况必有一种且只有一种成立；
(2)求集合中的参数时常用到分类讨论思想．
3.应注意：(1)自然数集中容易遗忘0这个元素；
(2)集合中易忽略元素的互异性．

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