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(共23张PPT)
第2课时　充要条件
新课导入 学习目标
　　老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻，又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我们这节将要讲的知识哦． 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义．
2.会判断一些简单的充要条件问题．
3.能对充要条件进行证明．
一　充分不必要、必要不充分与充要条件的判断
[知识梳理]
1.一般地，如果p q且　　　　，则称p是q的充分不必要条件．
2.一般地，如果　　　　且q p，则称p是q的必要不充分条件．
3.一般地，如果　　　　且　　　　，则称p是q的充分必要条件，简称为　　　　_______条件，记作　　　　．
p q　
q p　
充要　
p q
[例1] 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
【解】　因为正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
【解】　因为－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
所以p是q的充要条件．
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
【解】　由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，
且x＋2≠－y，
又p：x＋2≠y，
故p是q的充分不必要条件．
(4)p：a是自然数，q：a是正数．
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
[跟踪训练1] 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：ab＝0，q：a＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解：因为|x|>3 x2>9，所以p是q的充要条件．
二　充要条件的证明
[例2] 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】　①充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
由①②可得，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行证明，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
注意　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练2] 求证：a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
证明：方法一：先证充分性：因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2，又2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab.
再证必要性：因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b.
综上可知，a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
方法二：因为a＝b a－b＝0 (a－b)2＝0 a2＋b2－2ab＝0 a2＋b2＝2ab，所以a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
三　充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
母题探究　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
根据充分、必要、充要条件求参数
的取值范围的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}．
(2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系：若p是q的充分不必要条件，则M?N；若p是q的必要不充分条件，则N?M；若p是q的充要条件，则M＝N.
(3)根据集合间的关系列关于参数的不等式(组).
(4)解不等式(组)即可得参数的取值范围．
[跟踪训练3] (2025·北京期中)已知p：x(1)若p是q的充要条件，求a的值；
解：因为p是q的充要条件，
所以a2－2a－1＝a2＋5，解得a＝－3.
(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
课堂巩固自测
1.“x＝2”是“x2－4＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将x＝2代入x2－4＝0，等式成立，所以“x＝2”是“x2－4＝0”的充分条件；由x2－4＝0，得到x＝±2，故“x＝2”不是“x2－4＝0”的必要条件．综上，“x＝2”是“x2－4＝0”的充分不必要条件．故选A.
√
2.若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x解析：由A∪B＝R，得b>2，
所以A∪B＝R的一个必要不充分条件是b>1.
b>1（答案不唯一）
(1)x2＞1　　　　x＞1；
(2)a，b都是偶数　　　　a＋b是偶数；
解析：a，b都是偶数，则a＋b是偶数；但a＋b是偶数得不出a，b都是偶数，所以a，b都是偶数 a＋b是偶数．
(3)x2＝1　　　　|x|＝1.
解析：由x2＝1可得x＝±1，由|x|＝1可得x＝±1，所以x2＝1 |x|＝1.


4.(教材P37习题1－2BT1(1)改编)求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)，
当x＝0时，y＝0，该函数的图象过原点．
必要性：如果y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
那么当x＝0时，y＝0，即0＝k×0＋b，即b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
1.已学习：充要条件概念的理解、充要条件的证明．
2.须贯通：根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件求参数问题的关键是将问题转化为两个集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)求解．
3.应注意：搞不清充分性与必要性的判断方向．第2课时　充要条件
新课导入 学习目标
　　老张邀请朋友吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了，走了．老张愣了片刻，又道：“不该走的又走了．”李四大怒，拂袖而去．这个小故事就蕴含了我们这节将要讲的知识哦． 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义．2.会判断一些简单的充要条件问题．3.能对充要条件进行证明．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
1.一般地，如果p q且　　　　，则称p是q的充分不必要条件．
2.一般地，如果　　　　且q p，则称p是q的必要不充分条件．
3.一般地，如果　　　　且　　　　，则称p是q的充分必要条件，简称为　　　　条件，记作　　　　．
[答案自填] q　p　p　q　p q　q p　充要　p q
[例1] 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数，q：a是正数．
【解】　(1)因为正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
所以p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，
且x＋2≠－y，
又p：x＋2≠y，
故p是q的充分不必要条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故pq；
又是正数，但不是自然数，故qp.
故p是q的既不充分也不必要条件．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
[跟踪训练1] 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：ab＝0，q：a＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解：(1)因为ab＝0 a＝0，而a＝0 ab＝0，所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为四边形的对角线相等四边形是正方形，而四边形是正方形 四边形的对角线相等，所以p是q的必要不充分条件．
(3)因为|x|>3 x2>9，所以p是q的充要条件．
[例2] 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】　①充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
由①②可得，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行证明，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
注意　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练2] 求证：a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
证明：方法一：先证充分性：因为a＝b，所以a2＋b2＝a2＋a2＝2a2，又2ab＝2a2，所以a2＋b2＝2ab.
再证必要性：因为a2＋b2＝2ab，所以a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b.
综上可知，a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
方法二：因为a＝b a－b＝0 (a－b)2＝0 a2＋b2－2ab＝0 a2＋b2＝2ab，所以a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
三　充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】　因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3].
母题探究　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
根据充分、必要、充要条件求参数
的取值范围的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}．
(2)根据题中条件将问题转化为集合之间的关系：若p是q的充分不必要条件，则M?N；若p是q的必要不充分条件，则N?M；若p是q的充要条件，则M＝N.
(3)根据集合间的关系列关于参数的不等式(组).
(4)解不等式(组)即可得参数的取值范围．
[跟踪训练3] (2025·北京期中)已知p：x(1)若p是q的充要条件，求a的值；
(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
解：(1)因为p是q的充要条件，
所以a2－2a－1＝a2＋5，解得a＝－3.
(2)因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|x即a2－2a－1－3，
所以a的取值范围是{a|a>－3}．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.“x＝2”是“x2－4＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.将x＝2代入x2－4＝0，等式成立，所以“x＝2”是“x2－4＝0”的充分条件；由x2－4＝0，得到x＝±2，故“x＝2”不是“x2－4＝0”的必要条件．综上，“x＝2”是“x2－4＝0”的充分不必要条件．故选A.
2.若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x解析：由A∪B＝R，得b>2，
所以A∪B＝R的一个必要不充分条件是b>1.
答案：b>1（答案不唯一）
3.从符号“ ”“”“ ”中选择适当的一个填空：
(1)x2＞1　　　　x＞1；
(2)a，b都是偶数　　　　a＋b是偶数；
(3)x2＝1　　　　|x|＝1.
解析：(1)由x2＞1可得x＞1或x＜－1，故推不出x＞1，所以x2＞1x＞1.
(2)a，b都是偶数，则a＋b是偶数；但a＋b是偶数得不出a，b都是偶数，所以a，b都是偶数 a＋b是偶数．
(3)由x2＝1可得x＝±1，由|x|＝1可得x＝±1，所以x2＝1 |x|＝1.
答案：(1) 　(2) 　(3)
4.(教材P37习题1－2BT1(1)改编)求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明：充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)，
当x＝0时，y＝0，该函数的图象过原点．
必要性：如果y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
那么当x＝0时，y＝0，即0＝k×0＋b，即b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习：充要条件概念的理解、充要条件的证明．
2.须贯通：根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件求参数问题的关键是将问题转化为两个集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)求解．
3.应注意：搞不清充分性与必要性的判断方向．
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