资源简介

4.1 一元二次方程
【学习目标】
1.通过实际情景问题，抽象出一元二次方程的概念；
2.了解一元二次方程的意义，掌握一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式
【学习重点】一元一次方程及有关概念
【学习难点】如何把实际问题转化为数学方程，正确理解和掌握一般形式中a≠0
【学习过程】
一、复习引入
什么是一元一次方程？
新知探究
阅读下列材料，独立完成（1）—（4）
（1）教室的面积为54 m2，长比宽的2倍少3m，如果要求出教室的长和宽，怎样根据问题中的数量关系列出方程？设这个教室的宽为x m，则它的长为_________m。根据问题中的等量关系，可以得到方程：__________________________
（2）直角三角形斜边的长为11 cm，两条直角边的差为7 cm . 如果要求出两条直角边的长，怎样根据问题中的数量关系列出方程？设较短直角边的长为x cm，由两条直角边的差为7 cm可知，较长直角边的长是________cm。根据问题中的等量关系，可以得到方程________________________
（3）如图，点C是线段AB上的一点，且。如果要求的值，怎样根据问题中的数量关系列出方程？设AB=1，AC=x，由AC + CB = AB可知，CB的长为________。根据问题中的等量关系，即 AC2= AB·CB，可以得到方程________________________.
（4）由上面的三个问题，将得到的方程写在下面：
①________________________
②________________________
③________________________
把它们分别进行整理，使等式的右边为0，可以得到：
④________________________
⑤________________________
⑥________________________
（5）你发现方程①②③与整理后的④⑤⑥三个方程有哪些共同特征？与同桌交流
知识点：一元二次方程定义
方程①②③的两边都是_______，它们都只含有_____个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是________，像这样的方程叫做一元二次方程。
经过整理，一元二次方程都可以化为____________________的形式，称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项，a，b分别叫做二次项系数和一次项系数。
【跟踪练习】
练习1.下面方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？为什么？
x2 - 9 = 0；
（2）（x + 3）（x - 1）= x 2；
（3）（2x + 1）（2x - 1）= 0；
（4）3x - y 2 = 0；
x 2 = 0；
（6） = 1
练习2.分别写出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项，以及二次项系数和一次项系数。
方程①________________，二次项为_____，一次项为_____，常数项为_____；二次项系数为_____,一次项系数为_____
方程②________________，二次项为_____，一次项为_____，常数项为_____；二次项系数为_____,一次项系数为_____
方程③________________，二次项为_____，一次项为_____，常数项为_____；二次项系数为_____,一次项系数为_____
三、典型例题
例1.把方程（2x + 1）（3x - 2）= x2 + 2 化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数。
例2.a为何值时，方程ax2 - x = 2x2 - ax - 3是一元二次方程？a为何值时，是一元一次方程？
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.下列叙述正确的是（ ）
A.形如ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程
B.方程4x2+3x=4不含常数项
C.一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
D. （3-y）2=0是关于y的一元二次方程
2. 写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）7x 2 + 1 = 0； （2）3x 2 + 3 x = 0； （3）2x 2 + 7x - 9 = 0 .
3. 判断下列方程是不是一元二次方程. 如果是，分别写出它的二次项系数、一次项系数
和常数项.
（1）x（x + 2）= 0； （2）x（4x + 3）=（2x - 1）2；
x + = 3； （4）（x - 1）2 + 2x = 2x2 .
六、课后分层作业
【基础闯关】
1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
方程①3x﹣1＝0，②3x2﹣1＝0，③，④ax2﹣1＝3x（a为实数），
⑤2x2﹣1＝（x﹣1）（x﹣2），⑥（5x+2）（3x﹣7）＝15x2．其中一元二次方程的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣4
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
5．若（m﹣3）x|m﹣1|+（m+1）x+4＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
6．一元二次方程（2x+1）2﹣（x﹣4）（2x﹣1）＝3x中的二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　．
7．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为 　 　．
8．已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 　 　．
9. 把关于x的一元二次方程5x2 + a（1 - x）= 3x + 1化成一般形式为　 　
10. 如果一元二次方程x 2 - 3x + k + 1 = 0有一个根是-1，k的值为　 　.
11. 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x（x + 1）= 4（x - 2）； （2）（x + 3）2=（x + 2）（4x - 1）；
（3）2（y + 5）（y - 1）= y2 - 8； （4）2t =（t + 1）2
【能力提升】
12.关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
13.若2是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（　　）
A．1 B． C． D．
14.已知实数m满足m2﹣3m+1＝0，则代数式m2的值等于　 　．
15.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足等式
b，此一元二次方程为　 　．
16.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，有一个非零根-b，则a-b的值为　 　
【培优创新】
17.当m为何值时，关于x的方程x2 + 3mx = mx2 - 1是一元一次方程？是一元二次方程？

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