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2024-2025学年辽宁省沈阳市苏家屯区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若x＞y，则下列式子正确的是（　　）
A．3x＞3y B．x﹣3＜y﹣3 C．x+3≤y+3 D．﹣3x＞﹣3y
3．正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
4．下列各式从左到右因式分解正确的是（　　）
A．（a+2）2＝a2+4a+4
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣a﹣6＝（a﹣2）（a+3）
5．分式有意义的条件是（　　）
A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠0
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O．若AC＝8cm，则线段AO的长度等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若AB＝6，BC＝8，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，3） C．（5，2） D．（1，0）
9．如图，分别以线段AB两端点为圆心，以大于B的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F．作直线EF，在直线EF上任取一点C，使得BC＝3，连接AC，过点A作AC的垂线交BC延长线于点D．若DA＝4，则BD的长是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．多项式2x2﹣8因式分解的结果是 　 　 ．
12．若一个多边形的内角和为720°，则这个多边形是 　 　 边形．
13．若a﹣2b＝0，且a≠0，则分式的值为 　 　 ．
14．如图，函数y＝﹣2x和的图象相交于，则关于x的不等式组的解集是 　 　 ．
15．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE交于点F，若∠AFE＝60°，AD＝BE，AE＝，则AD＝ 　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
17．先化简，再代入求值：，其中a＝3．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格线的格点上．
（1）△ABC关于原点O成中心对称的图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1并直接写出点B的对应点B1的坐标；
（2）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形△A2B2C2．
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，AB＝12，AC＝B．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
20．在2025年央视春晚的舞台上，智能机器人表演扭秧歌，为观众带来了别开生面的新年惊喜．现有A、B两种型号机器人模型．已知每个B模型的成本价比每个A模型的成本低，同样花费100元，购进B模型的数量比A模型的数量多1个．
（1）每个A模型和B模型的成本价各多少元？
（2）该机器人模型店计划购买A，B两种模型共120个，且每个A模型的售价为35元，每个B模型的售价为27元．若购进A模型的数量不超过B模型数量的，则购进A模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．如图，已知平行四边形ABCD．
（1）求作：∠BAD的平分线交BC延长线于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接AC，DE，AE与CD相交于点F，连接BF，若BF恰好平分∠ABE，补全图形，并证明四边形ACED是平行四边形．
22．【知识回顾】
△ABC是等边三角形，BM⊥AC于点M，P是射线BM上一动点，连接AP，将线段AP绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接PE、CE．
（1）如图1，当BP＝2时，CE＝ 　 　 ；
（2）如图2，点P在线段BM的延长线上，连接BE，当点P在线段EC上，AB＝6时，求BE的长；
【变式应用】
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点G是BC的中点，点D在线段BG上，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转120°得到线段AE，连接CE，DE，点N是DE的中点，连接GN并延长交AC于点F，求证：．
23．已知y1和y2都是关于自变量x的函数，若当x≥0时，y1＝kx+b（k≠0，k，b为常数），当x＜0时，y2＝﹣b为常数），此时，函数y1的图象与函数y2的图象互相垂直，则称函数y2为函数y1的“垂直函数”．
（1）请直接写出函数y1＝3x（x≥0）的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量x的取值范围；
（2）如图1，函数y1＝2x+b（x≥0）和它的“垂直函数”y2组成的图象记为G，图象G与y轴交点记为点C，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣3，1），B（1，3）．
①当图象G与线段AB有两个公共点时，求b的取值范围；
②如图2，分别过A，B两点作y轴的平行线交图象G于点E，F，连接AE，BF，当以A，B，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积；
③如图3，连接AC，BC，当|AC﹣BC|的值最大时，直接写出b的值．
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