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(共14张PPT)
牛顿家里有两只猫，在门底部给大猫开了一个直径20厘米的大洞，给小猫开了一个直径15厘米的小洞，你觉得只要开哪个洞就可以了？
我们可以列出不等式组解决这个问题，这节课我们一起来 学习一下吧.
1.会求不等式组的解集.
2.理解绝对值的定义，能借助数轴解决简单的绝对值不等式.（重点）
3.掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式，并能解决简单问题.（难点）
探究点1 不等式（组）的解集

不断使用不等式的性质





不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.



探究点2 绝对值不等式

一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.





大于号取两边，小于号取中间
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x













【总结】













-3
-2
-1
0
1
2
3
x
B
A


探究点3 数轴上中点坐标公式
-3
-2
-1
0
1
2
3
x

A

B

M



不等式的解集
不等组的解集
绝对值不等式
数轴上的公式
定义法
几何意义法
距离公式
中点坐标公式(共15张PPT)
服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法!

王大妈：我要买包糖
称得b(kg)

你觉得王大妈有没有吃亏？这节课我们一起学习一下吧.
1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系.
2.理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明均值不等式.（重点）
3.能利用均值不等式证明简单不等式.（难点）
探究点1 算数平均值与几何平均值






思考1：如下表所示，任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一下一般情况下两个数的算数平均值和几何平均值的相对大小.
1
1
3





1
1
2
3
4
5
6
4
2

5
探究点2 均值不等式


注意：
1.均值不等式的条件
(1)均值不等式成立的条件:____________.
(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.


2.均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
均值不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称
它为基本不等式.



所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大
几何意义（2）

具体作图如下：
（2）以AB为直径作半圆O；
（3）过C点作CD⊥AB于C，交半圆于点D；
b
a
O
C
D
B
A
（4）连接AD，BD，OD,则




ab
a+b
2
b
a
O
C
D
B
A
均值不等式的另一个几何意义我们通常将其说成“半径不小于半弦”.





B
C
均值不等式　
均值不等式
两种命题
重要不等式
几何意义

(共15张PPT)
老张想围一个矩形养鸡场，他现有篱笆材料200米，怎样围才最合适呢？希望你能用这节课的知识帮忙解决这个问题.
1.理解并掌握均值不等式及其变形.（重点）
2.会用均值不等式求最值问题和解决简单的实际问题.（难点）
探究点 利用均值不等式求最值
思考1：已知矩形的面积为100，则这个矩形长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？


【总结】


当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
（积定和最小）
思考2：已知矩形的周长为36，则这个矩形长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？




【总结】


当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
（和定积最大）
求最值要注意三点：
⑴正数 ⑵定值
⑶检验等号是否成立



⑴正 ⑵定 ⑶相等







“1”的代换


均值不等式
重要不等式
均值不等式的变形
利用均值不等式求最值

积定和最小，和定积最大.
“1”的代换
一正、二定、三相等
求最值注意点
5
华
解析】设矩形的长与宽分别为x与y,则xy=1
00
因为x>0,y>0,所以
所以2(x+y)≥40
当且仅当x=y时，等号成立，
得x=
因此，当矩形的长和宽都是10时，周长最短，最短调长为40，
解析】设矩形的长与宽分别为x与y,则2(x+y=36,即
因为x>0,y>0,所以
所以
≤9，即xy≤81
当且仅当x=y时，等号成立，
得x=y=9.
因此，当矩形的长和宽都是9时，
面积最大，最大面积为81
解析】因为x>0,所以根据均值不等式有
等号成立当且仅当x=即x2=1,解得x=1或=一1（舍）
因此，x=1时，y取得最小值2
【注意】利用基本不等式求最值应注意的三点
1)x,y一定要是正数
(2)求积xy的最大值时，应看和x+y是否为定值；求和x+y
的最小值时，看积xy是否为定值
(3)等号是否能够取到.
解折f(x)=1-(2x十
因为X
所以2x+≥22x·-
所以-(2x+)≤-2W6
所以f(x)≤1-2N6
当且仅当2x=，即x2=,解得x=
或=(舍
因此，f(x)的最大值是1一2W6,此时x=
解析】当x∈(-1,3)时，一10.3
由均值不等式可得
(1+x)3-x)≤
从而(1十x)(3-x)≤4，即y≤4.
当且仅当1+x=3一x,即x=1时，等号成立
因此，当x=1时，y取得最大值4.(共14张PPT)

1.通过实例了解一元二次不等式.
2.理解一元二次方程、一元二次不等式与相应二次函数的关系.（难点）
3.掌握简单一元二次不等式的解法.（重点）
探究点1 一元二次不等式的定义

思考2：这两个不等式有什么共同点？


思考：如何解一元二次不等式呢？
探究点1 一元二次不等式的解法





【总结】

口诀：小于号取中间，大于号取两边




一元二次不等式的一般形式可通过因式分解进行等价转化.
跟踪训练：求问题情景中不等式的解集.


上述一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.这种方法只能在不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？










方法 不等式类型 解法
因式分解法
配方法




汽车在行驶中，由于惯性，
刹车后还要继续向前滑行
段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”刹车距离
是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向
而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场
勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m,乙车的刹车距离略
超过10m。已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h
之问的关系分别为
S甲
100
-V,S乙=
10
2001
试判断甲、乙两车有无超速现象
一元二次不等式定义：
般地，形如
ax2 bx +c >0
的不等式称为一元二次不等式.其中a,b,c是常数，而且a≠0.
(2)不等式可化为两个不等式组
解得x>1或x
因此，不等式的解集为(
(4)原不等式可化为x2+2x+÷>
因为x2+2x+)=(x+
所以原不等式可化为(x
即(x+1)>-
3
所以原不等式的解集为R
解析
(1)x2+2-5=(x+1)
所以原不等式可化为
(x+1)2-6≤0，即(x+1)
两边开平方得x+1<√6，
从而-√6解得-V6一1一1
所以原不等式的解柒为
(-√6-1，√6-1)
(2)原不等式可化为
x2-8x+1≥
0
因为x2-8x+1=
所以原不等式可化为
(x
4)2-15≥4
即(x-4)2≥15，所以x-41≥√15
所以x一4≤-V15或x-4≥
解得x≤4-V15或x≥4+
/15
所以原不等式的解集为
15)U(4+(共18张PPT)

1.掌握一元二次不等式的解法及分式不等式的解法.(重点）
2.能用分类讨论的思想方法分析解决含参数的一元二次不等式问题.(重点）
3.掌握不等式中恒成立问题，感悟分类讨论的数学思想.（难点）

探究点1 一元二次不等式的解法
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
y
x
-2
3
-6
0
(-2,0)、(3,0)
交点的横坐标即为方程的根

-2
3
y>0
y>0
y<0
y
O





x1
x2

x1(x2)


无实根
R
y
x
x
y
x
y
0
0
0




【提升总结】解一元二次不等式的一般步骤
(1)化为标准形式（不等号右侧为0，二次项系数为正）;
(2)确定判别式Δ的符号;
(3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0，则对应的二次方程无根;
(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.
特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.

需要比较
两根大小
探究点2：含参数的一元二次不等式的解法

探究点3 简单分式不等式的解法


去分母

【总结】


探究点4 不等式恒成立问题

【总结】





一元二次不等式
一元二次方程
二次函数
思想方法:
数形结合
分类讨论
化归(共19张PPT)

1.会用不等式表示不等关系.（重点）
2.会用作差法比较大小.（重点）
3.掌握不等式性质并能比较大小、证明不等式.（难点）
探究点1 不等关系与不等式


思考2：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？
实数与数轴上的点是一一对应的,右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大.
真命题
A
a
B
b
通过作差与“0”比较大小，即可判断两实数(或代数式)大小.
作差
变形
判断
结论
因式分解、配方、通分等手段
你能总结出用作差法比较两实数大小的步骤吗？

探究点2 不等式的性质
思考1：初中已学过的不等式的性质有哪些？试用作差法给出证明.




充要
充要
充要
>
>
<
<
思考2：（1）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？
（2）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？
结合这两个例子，你能归纳出不等式还有哪些性质吗？




性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得到的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出


综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.
由因导果：顺推法
思考3：根据前面已经证明过的不等式还能得到哪些推论呢？用综合法试一下吧.




反证法:首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.反证法是一种间接证明的方法.



跟踪训练;

>
>
>
>
<
<

分析法

由果索因：逆推法











不等式及其性质　
五种性质
三种比较大小方法
三种证明方法
作差法、性质法、特殊数值法

五个推论
分析法、综合法、反证法

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