资源简介

(共20张PPT)
在数学中函数概念的解释有两个基本的派别，第一派叫古典派，它的主要目标是数学在物理和技术中的传统应用，以“变量”的概念为基础。初中数学里的函数概念属于这一派；第二派叫现代派（或集合论派），以“元素”概念为基础，函数概念的外延更广，用于所有传统的数学应用和新近出现的新的应用领域．这节课我们一起学习一下吧.
1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.（重点、难点）
2.会判断给出的两个函数是否是同一函数.
3.会求一些简单函数的定义域.（重点）
探究点1 函数的概念
思考1：初中我们学习过哪些函数呢？你能举几个例子吗？

思考2：初中我们学习的函数是怎样定义的？

（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
思考3：观察下列两个实例有什么不同点和共同点？与初中学习的函数是否相同？


（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.






两个实例有什么共同点和不同点？
不同点
实例1是用表格刻画变量之间的对应关系.
实例2是用图象刻画变量之间的对应关系.
共同点
（1）都有两个非空数集.
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.
那么如何给函数下一个新的定义呢？




称为函数的值域.
函数
所有函数值组成的集合

1.函数概念中的关键词

即时训练:
　Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　　Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
√
D
是否一个自变量的值仅对应一个函数值
例1 求下列函数的定义域:

在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
【总结】
1.求函数定义域常用的依据：
（1）分式中分母不能为零；
（2）二次根式中的被开方数要大于或等于零；
（3）零次方的底数不能为零；
（4）实际问题要有意义.



2.定义域要写成集合或区间形式.

探究点2 相等函数

提示：不是，定义域不同

提示：是，定义域相同，对应关系相同


一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一函数.
即时训练 下列函数是否表示同一函数.

是
是
不是，定义域不同
不是，定义域不同

用方程去判断一个数是否属于函数的值域.



观察法

方程法

注意



定义域
值域
函数的概念
函数的记法
函数(共16张PPT)

1.理解函数的平均变化率与函数的单调性之间关系；（重点）
2.会用函数的平均变化率判断及证明函数的单调性.（难点）
探究点1 直线的斜率





x
y
o
x1
x2




A
B
x
y
o
x1
x2


C
D

由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在.因此，我们可以用直线的斜率来研究函数的单调性.
探究点2 函数的平均变化率与函数单调性
思考1：观察下列函数图象上两点连线的斜率的符号与函数单调性之间有什么关系
【提示】图（1）中AB两点连线的斜率大于零，函数单调递增；
图（2）中AB两点连线的斜率小于零，函数单调递减.
思考2：你能用符号表示表示出这种关系吗？



O
x
y
y=f(x)
A
B









A
C
D









【总结】
取 值 → 作 差 →计算平均变化率变 形 → 定 号 → 下结论
证明
步骤


我们在物理中已经学习过：变化率是描述变化
快慢的量.例如，速度是是用来衡量物体运动快
慢的，速度等于位移的变化量与发生这一变化
所用时间的比值，即v=
△X
△t
那么在数学中，这种变化率有什么含义呢？这节课
我们一起来学习一下吧
数学
化学物理
计算机科学
医学
丸乎其他所有学科
遗传学
生物学
B
y2
△y
A
X
y
●●●●●●●●●●●●●●●
:
X
x
思考1：设直线y=kx+b任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),(x1≠x2),
则有y1=
两式作差整理得，斜率
解析直线AB率大于受
因为x=x2-x1>0,△y=y2
所以=
7
直线CD的率小于安
因为Ax二x2一1>0，而△)
所以k=
83-1-12
由“全能扫描王”扫描创建
一
般地，若I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1,x2∈I,x1≠x2,
记1=f0x).y=f6x,）兰=（路=1），则
x2-x1
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是
(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是
数的平均变化率
2.向一个容器（如图①②③所示）中倒水，且任意相等的时间间
隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的
函数为y=f(t),则在以下函数图像中，分别找出图①②③可能
对应的图像(共21张PPT)
1
2
3

y
o
20
40
60
80
记忆保持量(百分数)
时间间隔/h
“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？这节课我们一起学习一下吧.
1.理解单调函数的定义；（重点）
2.掌握用定义法判断函数单调性的步骤；（难点）
3.理解函数的最大（小）值及其几何意义.(重点）
探究点1 函数单调性的定义
x
y
o
x
y
o
x
y
o
上升
思考1：观察下列函数图象，从左向右图象的变化趋势是怎样的？
下降
先下降后上升
思考2：你能用图象 上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？




O
x
D
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
M
N

任意
都有
根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.
增函数

增函数
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？
减函数

（1）如果函数 y =f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性；
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质.

(×)

(×)

(×)
即时训练:
如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是 函数，在[1，3]上是 函数，在[3，6]上是 函数.单调增区间是 ，单调减区间是 .
.
增
减
增


在多个区间上单调性相同，一般用“和”“，”连接


取值
作差变形
定号
判断
【总结提升】
利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:

此为证明的关键点、易错点


探究点2 函数的最值
1.观察下列两个函数的图象：


y
x
o
图2
M0
B


可以这样理解：函数的最大值是所有函数值中最大的一个，并且是能够取到的.
2.观察下列两个函数的图象：

x
y
o
图2
m0

B
图1
y
o
x0
x
m

A

仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？
可以这样理解：函数的最小值是所有函数值中最小的一个，并且是能够取到的.
即时训练：观察下面函数的图象，并回答问题
递增区间
最大值：______最小值：______
递减区间
最大值点：______最小值点：______
12
-3
10
2
分析单调性帮助求最值
最值点不是点是横坐标





【总结提升】
判断函数的最大(小)值的方法：
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值
取 值 → 作 差 变 形 → 定 号 → 下结论
证明
步骤
函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内.
利用函数的单调性
求函数的最值
图象法
注意：两种方法经常结合应用(共17张PPT)
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的优点.(重点）
2.通过实例体会分段函数的概念并能用分段函数解决简单的实际问题.(重点）
3.会求函数解析式，并正确画出函数的图象.(难点）
探究点1 函数的三种表示法


思考2： 前面给出的关于中国创新指数的函数,是用什么方法表示的？
解析法（除默认情况一般要写出定义域）
列表法
思考3： 前面给出的与心电图有关的函数,是用什么方法表示的？
图象法


【总结提升】
优 点 缺 点
列表法
图象法
①函数关系清楚;
②容易从自变量的值求出其
对应的函数值；
③便于研究函数的性质.
不够形象直观，而且并不是所有的函数关系式都可以用数学式子表示.
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．
只适用于自变量数目较少的函数.
能形象直观的表示出函数的变化情况．
不精确
解
析
法


0 1 2 3 ……
y 0 1 ……
作出一个函数图像，经常先探究函数的定义域、值域，以及y随x增大而增大（或减小）等一些基本性质，然后据此描出函数图像上一些有代表性的点，并作出函数图像，这称为描点作图法.
【总结】
作函数图象时应注意的事项:
(1)画函数图象时要在定义域内作图;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

【解析】
（1）
（2）
探究点2 分段函数

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，对应关系不同，则称其为分段函数.
分段函数
思考1：这是一个函数还是两个函数？

求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
思考3：这个函数的定义域是什么？值域是什么？
分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.




x 6.89 5 π -1.5 -2
y
（2）判断这种对应关系是否是函数.如果是，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由.

6
5
3
-2
-2
图象如右图所示：

R
Z
这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯函数.
探究点3 求函数解析式
思考1：已知二次函数的图象过点（-1，4），（0，1），（1，2），求这个二次函数的解析式.

待定系数法
【总结】

换元法
配凑法



2.分段函数
分段函数
概念
图象
求函数值
1.函数的表示方法
函数的表示方法
列表法
图象法
解析法(共18张PPT)
故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣, 给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！
1.理解函数的奇偶性的含义.(难点）
2.掌握判断函数的奇偶性的方法．（重点、难点）
3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性.

9
4
1
1
4
9


1
1




探究点1 偶函数的定义













y
o

P
Q





-27
-8
-1
1
8
27


-1
1




探究点2 奇函数的定义



类比偶函数的定义，你能给奇函数下一个定义吗？
如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.




P
Q



y
o

即时训练:
根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数






有没有既奇又偶的函数呢？


【总结】

（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法（解答题证明）
按照奇偶性分类：
奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数



定义域
函数的奇偶性
判断方法
关于原点对称
偶函数关于y轴对称
奇函数关于原点对称
图象特点
定义法
图象法(共16张PPT)
生活中处处都能看到对称美，具有奇偶性的函数有广泛的应用，它们有哪些性质呢？这节课我们一起来学习一下吧.
1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；
2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点）
3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）


探究点1 利用函数的奇偶性研究函数的单调性


函数具有奇偶性时，它的单调性有什么规律吗？




函数的性质一般从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面分析



























3
9





6



【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.
探究点2 函数的对称轴与对称中心






y
o
P
Q




y
o





A
B




y
o






思考3：我们是如何推导出奇函数图象关于原点对称的呢？







y
o


y
o





A
B




y
o




两个性质：
函数的奇偶性
综合应用
两种对称：轴对称、中心对称
1.奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；
偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；
2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于ｙ轴对称．

展开更多......

收起↑