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2．2.2　不等式的解集
新课导入 学习目标
　　你知道方程x－3＝0的解与不等式x－3>0的解有哪些相同点和不同点吗？本节课我们来学习不等式的解集． 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集．2．了解含绝对值的不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式．3．掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
(1)一般地，不等式的____________组成的集合称为不等式的解集．
(2)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的__________称为不等式组的解集．
[答案自填] 所有解　交集
[例1] 求下列不等式(组)的解集．
(1)3(x＋2)－8≥1－2(x－1)；
(2)
【解】　(1)由题意，得3x＋6－8≥1－2x＋2，
即3x＋2x≥3－6＋8，解得x≥1，
即原不等式的解集为[1，＋∞).
(2)解不等式①，得x＞－，
解不等式②，得x≤.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
INCLUDEPICTURE "../../生物/DA6.TIF" \* MERGEFORMAT
由图可知该不等式组的解集为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
不等式组的解集的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集；
(2)求出各解集的交集；
(3)写出不等式组的解集．
[跟踪训练1] (1)不等式1－2x<5－x的负整数解有(　　)
A.1个 B．2个
C.3个 D．4个
解析：选B.由题意得x>－，所以不等式的负整数解有－1，－2，共2个．故选B.
(2)不等式组的解集为____________．
解析：解不等式①，得x<－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
INCLUDEPICTURE "../../生物/25BR1.TIF" \* MERGEFORMAT
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为 .
答案：
[知识梳理]
1．绝对值不等式：含有绝对值的不等式．
2．绝对值不等式的解集
不等式(m>0) 不等式的解集
|x||x|>m {x|x>m或x<－m}
3.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
[答案自填] {x|－m[例2] 求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x－1|≤6；
(2)3≤|x－2|<4.
【解】　(1)因为|3x－1|≤6 －6≤3x－1≤6，
即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，
所以原不等式的解集是.
(2)因为3≤|x－2|<4，
所以3≤x－2<4或－4即5≤x<6或－2所以原不等式的解集为(－2，－1]∪[5，6).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
绝对值不等式的解题策略——等价转化法
(1)形如|x|a(a>0)的不等式：
|x||x|>a x>a或x<－a.
(2)形如a<|x|a>0)的不等式：
a<|x|[跟踪训练2] 不等式1<|x－2|≤3的解集为__________．
解析：原不等式等价于不等式组
即
解得－1≤x<1或3所以原不等式的解集为[－1，1)∪(3，5].
答案：[－1，1)∪(3，5]
[知识梳理]
1．一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝____________，这就是数轴上两点之间的距离公式．
2．如果线段AB的中点M对应的数为x，即 M(x)，则x＝____________，这就是数轴上的中点坐标公式．
[答案自填] |a－b|　
[例3] (对接教材例2)已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
【解】　(1)若P是线段QR的中点，则－8＝，
所以m＝－18；
若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3；
若R是线段PQ的中点，则2＝，
所以m＝12.
即实数m的值为－18，－3或12.
(2)由题意，知>1，
即>1，
所以－1>1或－1<－1，解得m>4或m<0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标，可用两点间的距离公式求距离．若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标．
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．已知其中两点坐标时，可用中点坐标公式求第三点的坐标．
[跟踪训练3] 已知数轴上，A(2)，B(x)，C(－8).若A与C关于点B对称，则x＝________．
解析：由数轴上的中点坐标公式可得x＝＝－3.　
答案：－3
[例4] 解下列不等式：
(1)|x－1|>|2x－3|；
(2)|x－1|＋|x－2|>2.
【解】　(1)因为|x－1|>|2x－3|，
所以(x－1)2>(2x－3)2，即(2x－3)2－(x－1)2<0，所以(2x－3＋x－1)(2x－3－x＋1)<0，
即(3x－4)(x－2)<0，所以即原不等式的解集为.
(2)原不等式 或
或 或
或 x<或x>，所以原不等式的解集为∪.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)分段讨论法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用分段讨论法“脱去”绝对值符号，将其转化为不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：
①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应方程的根；
②将这些根按从小到大的顺序排列，它们把实数集分为若干个区间；
③在所分的各区间上，“脱去”绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；
④这些解集的并集就是原不等式的解集．
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的
距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
[跟踪训练4] 解不等式|2x－1|<|x|＋1.
解：当x<0时，原不等式可化为－2x＋1<－x＋1，解得x>0，又因为x<0，所以不等式无解；
当0≤x<时，原不等式可化为－2x＋1解得x>0，又因为0≤x<，所以0当x≥时，原不等式可化为2x－1又因为x≥，所以≤x<2.
综上所述，原不等式的解集为(0，2).
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(多选)不等式<1的正整数解有(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选ABC.由<1，得x<4，
又x∈N＋，所以x＝1，2，3.
2．不等式－x2－|x|＋6>0的解集为(　　)
A．{x|－3B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>3}
D．{x|x<－3，或x>2}
解析：选B.不等式可化为|x|2＋|x|－6<0，即0≤|x|<2，解得－23．(教材P70探索与研究改编)关于x的不等式|x|＋|x－1|≥3的解集是(　　)
A．(－∞，－1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．[－1，2]
解析：选C.当x≥1时，x＋x－1≥3，解得x≥2；
当0当x≤0时，－x＋1－x≥3，解得x≤－1.
综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞).
4．(教材P71练习BT2(2)改编)已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为______________．
解析：由题意，得|x|≤4，解得－4≤x≤4.
答案：[－4，4]
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：(1)解一元一次不等式(组).
(2)解含有一个或两个绝对值的不等式．
(3)数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式．
2．须贯通：在解含绝对值的不等式时要注意使用数形结合、分类讨论的思想方法．
3．应注意：在对含两个绝对值的不等式进行讨论时，忽略是不是带等号．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
2．2.2　不等式的解集
新课导入 学习目标
　　你知道方程x－3＝0的解与不等式x－3>0的解有哪些相同点和不同点吗？本节课我们来学习不等式的解集． 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集．
2．了解含绝对值的不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式．
3．掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．
一　不等式（组）的解集
[知识梳理]
(1)一般地，不等式的____________组成的集合称为不等式的解集．
(2)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的__________称为不等式组的解集．
所有解　
交集
[例1] 求下列不等式(组)的解集．
(1)3(x＋2)－8≥1－2(x－1)；
【解】　由题意，得3x＋6－8≥1－2x＋2，
即3x＋2x≥3－6＋8，解得x≥1，
即原不等式的解集为[1，＋∞).
不等式组的解集的求解步骤
(1)求出不等式组中每个不等式的解集；
(2)求出各解集的交集；
(3)写出不等式组的解集．
√

二　含一个绝对值的不等式的解法
[知识梳理]
1．绝对值不等式：含有绝对值的不等式．
2．绝对值不等式的解集
不等式(m>0) 不等式的解集
|x||x|>m {x|x>m或x<－m}
{x|－m3.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
[例2] 求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x－1|≤6；
(2)3≤|x－2|<4.
【解】　因为3≤|x－2|<4，
所以3≤x－2<4或－4即5≤x<6或－2所以原不等式的解集为(－2，－1]∪[5，6).
绝对值不等式的解题策略——等价转化法
(1)形如|x|a(a>0)的不等式：
|x||x|>a x>a或x<－a.
(2)形如a<|x|a>0)的不等式：
a<|x|[跟踪训练2] 不等式1<|x－2|≤3的解集为____________________．
[－1，1)∪(3，5]
三　数轴上的基本公式及其应用
[知识梳理]
1．一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝____________，这就是数轴上两点之间的距离公式．
2．如果线段AB的中点M对应的数为x，即 M(x)，则x＝____________，这就是数轴上的中点坐标公式．
|a－b|
[例3] (对接教材例2)已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2).
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标，可用两点间的距离公式求距离．若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标．
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．已知其中两点坐标时，可用中点坐标公式求第三点的坐标．
[跟踪训练3] 已知数轴上，A(2)，B(x)，C(－8).若A与C关于点B对称，则x＝________．
－3
四　含两个绝对值的不等式的解法
[例4] 解下列不等式：
(1)|x－1|>|2x－3|；
(2)|x－1|＋|x－2|>2.
(1)分段讨论法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用分段讨论法“脱去”绝对值符号，将其转化为不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：
①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应方程的根；
②将这些根按从小到大的顺序排列，它们把实数集分为若干个区间；
③在所分的各区间上，“脱去”绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；
④这些解集的并集就是原不等式的解集．
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
[跟踪训练4] 解不等式|2x－1|<|x|＋1.
课堂巩固自测
√
√
√
√
2．不等式－x2－|x|＋6>0的解集为(　　)
A．{x|－3B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>3}
D．{x|x<－3，或x>2}
解析：不等式可化为|x|2＋|x|－6<0，即0≤|x|<2，解得－23．(教材P70探索与研究改编)关于x的不等式|x|＋|x－1|≥3的解集是(　　)
A．(－∞，－1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．[－1，2]
解析：当x≥1时，x＋x－1≥3，解得x≥2；
当0当x≤0时，－x＋1－x≥3，解得x≤－1.
综上，不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞).
√
4．(教材P71练习BT2(2)改编)已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为______________．
解析：由题意，得|x|≤4，解得－4≤x≤4.
[－4，4]
1．已学习：(1)解一元一次不等式(组).
(2)解含有一个或两个绝对值的不等式．
(3)数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式．
2．须贯通：在解含绝对值的不等式时要注意使用数形结合、分类讨论的思想方法．
3．应注意：在对含两个绝对值的不等式进行讨论时，忽略是不是带等号．

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