资源简介

2．2　不等式
2．2.1　不等式及其性质
新课导入 学习目标
　　楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口的面积和为b，则楼房的采光率为(其中a>b>0).显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？这就是我们这节课所讲的知识． 1.会运用作差法比较两个数或式的大小．2．会运用不等式的性质判断命题的真假．3．掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
在日常生活中，我们经常看到下列标志：
INCLUDEPICTURE "../../生物/25RA-8.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1　其含义分别是什么？
提示：题图1装载高度h不得超过 3.5 m；
题图2行驶速度v不得低于50 km/h；
题图3装载总质量m不得超过10 t．
思考2　能用一个不等式表示上述关系吗？
提示：题图1为0[知识梳理]
1．不等关系与不等式
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接______________，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
2．常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 ______ < ≥ ______
3.实数(式)的大小比较
(1)数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x为______________，并记作________．
(2)比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据：
a>b ______________；a＝b a－b＝0；a[答案自填] 两个数或代数式　>　≤
点P的坐标　P(x)　a－b>0　a－b<0
[即时练]
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”
B.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c且a＋c＞b且b＋c＞a”
D.变量x不小于a，可表示为“x≥a”
解析：选CD.对于A，应表示为“x＋2≥0”；对于B，应表示为“x＜y”，故A，B错误．显然C，D正确．故选CD.
2．已知M＝(2a＋1)(a＋3)，N＝a2＋6a＋2，则(　　)
A.M＞N B．M＜N
C.M＝N D．M≥N
解析：选A.M＝2a2＋7a＋3，N＝a2＋6a＋2，则M－N＝a2＋a＋1＝＋＞0，所以M＞N.故选A.
3．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：由题得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).
因为x≤1，所以x－1≤0，3x2＋1≥1，所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以当x≤1时，3x3≤3x2－x＋1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
作差法比较大小的步骤
INCLUDEPICTURE "../../生物/22C1.tif" \* MERGEFORMAT
注意　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
思考　我们都知道：a克糖水中含b克糖(a>b>0)，再加m(m>0)克糖，全部溶解后，糖水会变得更甜．你能用一个不等式来表示这个现象吗？
提示：浓度越大，糖水越甜，即<.
[知识梳理]
1．不等式的性质
性质1：如果a>b，那么a＋c______b＋c.
性质2：如果a>b，c>0，那么ac______bc.
性质3：如果a>b，c<0，那么ac______bc.
性质4：如果a>b，b>c，那么a______c．(传递性)
性质5：a＞b b＜a.
2．不等式性质的推论
推论1：如果a＋b>c，那么a______c－b.(不等式的移项法则)
推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c______b＋d.(同向可加性)
推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac______bd.
推论4：如果a>b>0，那么an________bn(n∈N，n>1).
推论5：如果a>b>0，那么 ______.
[答案自填] >　>　<　>　>　>
>　>　>
[例1] (多选)下列命题中，是真命题的是(　　)
A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B.若ac2＞bc2，则a＞b
C.若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2
D.若a＞b＞0，则a－＞b－
【解析】　对于A，如反例a＝2，b＝－1，c＝0，d＝－1，ac对于B，显然c≠0，而c2＞0，两边同时除以c2得a＞b，是真命题；
对于C，首先得b2，ab，a2均为正数，且|a|＞|b|，可得b2＜ab＜a2成立，是真命题；
对于D，作差a－－＝(a－b)，要使结论成立，需ab＞1，如反例a＝2，b＝符合a>b>0，但ab＝<1，矛盾，是假命题．故选BC.
【答案】　BC
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
运用不等式的性质判断命题真假的方法
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然地随意捏造性质．
(2)可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
[跟踪训练1] 若a，b，c∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.若a＞b，则a2＞b2
B.若＞，则a＞b
C.若a＞b，则a＋c＞b＋c
D.若a＞b且ab＜0，则＜
解析：选C.对于A，取a＝1，b＝－2，则a2＜b2，故A不正确；对于B，当c＜0时，a＜b，故B不正确；对于C，由性质1可知正确；对于D，当a＞b且ab＜0时，b＜0＜a，所以＞.故D不正确．故选C.
技法1　综合法
[例2] (对接教材例2)若a>b>0，c.　
【证明】　因为c－d>0.
又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以(a－c)2>(b－d)2>0，
所以0<<.
又e<0，所以>.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
综合法处理问题的三个步骤
INCLUDEPICTURE "../../生物/SXRB4.TIF" \* MERGEFORMAT
技法2　分析法
[例3] (对接教材P66尝试与发现)已知a>0，证明： －≥a＋－2.
【证明】　要证 －≥a＋－2，
只需证 ≥－(2－).
因为a>0，所以－(2－)＝＋>0，
所以只需证≥，
即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.
因为a>0，
所以a＋－2＝＝≥0，
所以a＋≥2显然成立(当且仅当a＝1时，等号成立)，所以要证的不等式成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
(2)分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式、定理、定义、公理等．
技法3　反证法
[例4] 若x>0，y>0，且x＋y>2，求证与中至少有一个小于2.
【证明】　假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
因为x>0，y>0，所以1＋y≥2x，1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y).
所以x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
所以假设不成立，原命题成立．
故与中至少有一个小于2.
　 eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难或需要分多种情况，而反面证明较简单或只有一种情况时，可以考虑用反证法，例如：要证明不等式A>B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设．要证明的不等式中含有“至多”“至少”“均是”“不都”“任何”“唯一”等特征字眼时，一般用反证法．
[跟踪训练2] 已知x>0，求证 <1＋.
证明：方法一(分析法)：
因为x>0，所以>0，1＋>0，
所以要证 <1＋，
只需证1＋x<1＋x＋，只需证0<.
因为x>0，所以>0成立，故<1＋.
方法二(反证法)：
假设≥1＋，
因为x>0，所以>0，1＋>0，
所以1＋x≥1＋x＋，即0≥，
所以x＝0，与条件x>0矛盾．
所以假设不成立，故<1＋成立．
[例5] 已知1＜a＜6，3＜b＜4，则的取值范围是________，2a－b的取值范围为________．
【解析】　因为3＜b＜4，所以＜＜，
所以<<2.
因为1 ＜a＜6，3＜b＜4，
所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，
所以2－4＜2a－b＜12－3，
即－2＜2a－b＜9.
【答案】　＜＜2　－2＜2a－b＜9
母题探究1　本例条件不变，则－的取值范围为________．
解析：因为1＜a＜6，3＜b＜4，
所以＜＜，所以＜＜2，
所以＜＜，所以－<－<－.
答案：－<－<－
母题探究2　若将本例条件变为“2＜a＜7，1＜b＜2”，求2a－b，的取值范围．
解：因为2＜a＜7，1＜b＜2，
所以4＜2a＜14，－2＜－b＜－1，＜＜1，
所以2＜2a－b＜13，1＜＜7.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[跟踪训练3] 已知－＜β＜α＜，求2α－β的取值范围．
解：因为－＜α＜，－＜β＜，
所以－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π.
又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π，
又2α－β＝α＋(α－β)，所以－＜2α－β＜π.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b一定是(　　)
A．正数 B．负数
C.非正数 D．非负数
解析：选B.因为a＞0，b＜0，所以|a|＝a，|b|＝－b.
又因为|a|＜|b|，所以a＜－b，
所以a＋b＜0，
所以a＋b一定是负数．故选B.
2．(多选)(2025·丹东期中)下列命题正确的是　(　　)
A.若ab>0，bc－ad>0，则－>0
B.若a>b，c>d>0，则>
C.若a
D.若a>b，则a|c|>b|c|
解析：选AC.对于A，若ab>0，bc－ad>0，则－＝>0，即A正确；
对于B，若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，所以＝＝－1，即B错误；
对于C，因为a，即C正确；
对于D，当c＝0时，此命题并不成立，即D错误．
3．设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为____________．
解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，
所以y＜－y，又x＞1，所以y＜－y＜x.
答案：y＜－y＜x
4．已知－1＜x＜y＜3，则x－y的取值范围为________．
解析：因为－1所以－3＜－y<1，所以－4又因为x所以－4所以x－y的取值范围是(－4，0).
答案：(－4，0)
5．(教材P67练习AT4，练习BT4改编)已知a＞b＞0，c＜d＜0.证明：
(1)ac＜bd；
(2)＜.
证明：(1)因为a＞b＞0，c＜0，所以ac＜bc＜0，又c＜d＜0，b＞0，所以bc＜bd＜0，故ac＜bd.
(2)由c＜0，得－c＞0，
因为a＞b＞0，所以a－c＞b－c＞0，
所以0＜＜.
又因为a＞0，所以＜.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：不等式的性质及其应用．
2．须贯通：不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件要满足．
3．应注意：(1)不等式的性质成立的条件；
(2)不等式的性质是否具有可逆性．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共43张PPT)
2．2　不等式
2．2.1　不等式及其性质
一　实数（式）的大小比较
在日常生活中，我们经常看到下列标志：
思考1　其含义分别是什么？
提示：题图1装载高度h不得超过 3.5 m；
题图2行驶速度v不得低于50 km/h；
题图3装载总质量m不得超过10 t．
思考2　能用一个不等式表示上述关系吗？
提示：题图1为0[知识梳理]
1．不等关系与不等式
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接__________________，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
两个数或代数式
2．常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字
语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，
不低于 小于等于，至多，
不超过
符号
语言 ______ < ≥ ______
>　
≤
3.实数(式)的大小比较
(1)数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x为______________，并记作________．
(2)比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据：
a>b ______________；a＝b a－b＝0；a点P的坐标　
P(x)　
a－b>0　
a－b<0
[即时练]
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”
B.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c且a＋c＞b且b＋c＞a”
D.变量x不小于a，可表示为“x≥a”
√
√
解析：对于A，应表示为“x＋2≥0”；对于B，应表示为“x＜y”，故A，B错误．显然C，D正确．故选CD.
2．已知M＝(2a＋1)(a＋3)，N＝a2＋6a＋2，则(　　)
A.M＞N B．M＜N
C.M＝N D．M≥N
√
3．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：由题得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).
因为x≤1，所以x－1≤0，3x2＋1≥1，所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以当x≤1时，3x3≤3x2－x＋1.
作差法比较大小的步骤
注意　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
二　利用不等式的性质判断命题真假
思考　我们都知道：a克糖水中含b克糖(a>b>0)，再加m(m>0)克糖，全部溶解后，糖水会变得更甜．你能用一个不等式来表示这个现象吗？
[知识梳理]
1．不等式的性质
性质1：如果a>b，那么a＋c______b＋c.
性质2：如果a>b，c>0，那么ac______bc.
性质3：如果a>b，c<0，那么ac______bc.
性质4：如果a>b，b>c，那么a______c．(传递性)
性质5：a＞b b＜a.
>　
>　
<　
>　
>　
>　
>　
>　
>　
√
√
运用不等式的性质判断命题真假的方法
(1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然地随意捏造性质．
(2)可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
√
综合法处理问题的三个步骤
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
(2)分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式、定理、定义、公理等．
反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难或需要分多种情况，而反面证明较简单或只有一种情况时，可以考虑用反证法，例如：要证明不等式A>B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设．要证明的不等式中含有“至多”“至少”“均是”“不都”“任何”“唯一”等特征字眼时，一般用反证法．
－2＜2a－b＜9
利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
课堂巩固自测
1．若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b一定是(　　)
A．正数 B．负数
C.非正数 D．非负数
解析：因为a＞0，b＜0，所以|a|＝a，|b|＝－b.
又因为|a|＜|b|，所以a＜－b，
所以a＋b＜0，
所以a＋b一定是负数．故选B.
√
√
√
3．设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为____________．
解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，
所以y＜－y，又x＞1，所以y＜－y＜x.
y＜－y＜x
4．已知－1＜x＜y＜3，则x－y的取值范围为________．
解析：因为－1所以－3＜－y<1，所以－4又因为x所以－4所以x－y的取值范围是(－4，0).
(－4，0)
5．(教材P67练习AT4，练习BT4改编)已知a＞b＞0，c＜d＜0.证明：
(1)ac＜bd；
证明：因为a＞b＞0，c＜0，所以ac＜bc＜0，又c＜d＜0，b＞0，所以bc＜bd＜0，故ac＜bd.
1．已学习：不等式的性质及其应用．
2．须贯通：不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件要满足．
3．应注意：(1)不等式的性质成立的条件；
(2)不等式的性质是否具有可逆性．

展开更多......

收起↑