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2．2.3　一元二次不等式的解法
新课导入 学习目标
　　前面我们学习了一元二次方程x2－2x－3＝0的解集，它与一元二次不等式x2－2x－3>0有什么样的关系呢？这节课我们一起研究一下吧． 1.解一元二次不等式的概念．2．掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法．3．会解简单的分式不等式．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
1．一元二次不等式的概念
一般地，形如________________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且__________．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
2．一元二次不等式的解法
(1)因式分解法
一般地，如果x10的解集是________．
(2)配方法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为________________或____________的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集，如下表：
类别 k>0 k＝0 k<0
(x－h)2>k 转化为|x－h|>，解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞) (－∞，h)∪(h，＋∞) R
(x－h)2[答案自填] ax2＋bx＋c>0　a≠0
(x1，x2)　(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
(x－h)2>k　(x－h)2角度1　解不含参数的一元二次不等式
[例1] 求下列不等式的解集：
(1)(对接教材例1)x2－10x－600>0；
(2)(对接教材例2)－2x2＋5x－2<0.
【解】　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0，
因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞).
(2)因为－2x2＋5x－2＝－2
＝－2＝－2＋，
所以－2＋<0，即>.
所以x－>或x－<－，
解得x>2或x<.
所以原不等式的解集为∪(2，＋∞).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
解不含参数的一元二次不等式的方法
(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集．
(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解．
[跟踪训练1] 求下列不等式的解集：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解：(1)因为4x2－4x＋1＝(2x－1)2，
所以原不等式可化为(2x－1)2>0，
所以不等式的解集为∪.
(2)因为原不等式可化为x2－6x＋10<0，
x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以原不等式等价于(x－3)2＋1<0，
所以原不等式的解集为 .
角度2　解含参数的一元二次不等式
[例2] 已知关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R).
(1)当a＝－2时，求不等式的解集；
(2)当a>0时，求不等式的解集．
【解】　(1)当a＝－2时，不等式为－2x2＋x＋1<0，
即2x2－x－1>0，解得x<－或x>1，
所以不等式的解集为.
(2)当a>0时，不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，
即(x－1)<0，
若a＝1，则不等式为(x－1)2<0，不等式的解集为 ；
若a>1，则<1，解不等式得若0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
解含参数的一元二次不等式的步骤
INCLUDEPICTURE "../../生物/22C4B.tif" \* MERGEFORMAT
注意　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
[跟踪训练2] 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).
解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，有aa2；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以x≠0；
当0a2，
所以xa；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以x≠1；
当a>1时，有aa2.
综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
[例3] (对接教材例3)解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
【解】　(1)原不等式可化为
解得
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为－1>0，即<0，
等价于(3x－2)(4x－3)<0，解得所以原不等式的解集为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
简单分式不等式的解法
INCLUDEPICTURE "../../生物/RA1-10.TIF" \* MERGEFORMAT
注意　对于不等号右边不为零的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的分式不等式，然后再用上述方法求解．
[跟踪训练3] (1)不等式≥2的解集是(　　)
A． B．
C．∪(1，3] D．∪(1，3]
解析：选D.≥2

所以原不等式的解集是∪(1，3].
(2)若关于x的不等式ax＋3<0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式<0的解集为______________．
解析：因为关于x的不等式ax＋3<0的解集为(1，＋∞)，所以方程ax＋3＝0的根为1，即a＋3＝0，所以a＝－3，则<0，即<0，即>0，则(x＋2)(x－1)>0，解得x>1或x<－2.所以关于x的不等式<0的解集为{x|x<－2 或x>1}．
答案：{x|x<－2或x>1}
三　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
[例4] 若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
【解】　方法一：由题意知
所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0)，
即x2＋x＋1<0，
化简得x2＋5x＋6<0，解得－3所以所求不等式的解集为{x|－3方法二：由题意得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，，且a<0，
所以－＝＋＝，＝×＝，
由cx2－bx＋a>0得x2－x＋1<0，
即x2＋x＋1<0，即x2＋5x＋6<0，
解得－30的解集为{x|－3母题探究　若将本例中“”改为“{x|解：由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得ax2＋ax＋a>0(a>0)，
即x2＋x＋1>0，化简得x2＋5x＋6>0，
解得x>－2或x<－3.
所以所求不等式的解集为{x|x>－2，或x<－3}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
已知a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号．
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
[跟踪训练4] 关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)
A． B． C． D．
解析：选A.方法一：x2－2ax－8a2<0可化为(x＋2a)·(x－4a)<0.因为a>0且不等式的解集为(x1，x2)，所以x1＝－2a，x2＝4a，所以x2－x1＝6a＝15，故a＝.
方法二：由题意知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，
故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a>0得a＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(多选)下列四个不等式， 其中解集为R的是(　　)
A．－x2＋x＋1≥0
B．x2－2x＋6>0
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<1
解析：选BC.A显然不可能；B中，Δ＝(－2)2－4×6＝－4<0，解集为R；C中，Δ＝62－4×10＝－4<0，解集为R；D中，不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．
2．(教材P75练习BT1改编)若集合M＝{x|0A．{x|0C．{x|0解析：选D.由－2＝≤0，
即解得－2≤x<1，
所以N＝{x|－2≤x<1}，又M＝{x|03．(多选)(2025·丹东期中)已知不等式ax2＋bx－6<0的解集为{x|－3A．a<0
B．－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根
C．b＝－1
D．不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}
解析：选BD.因为不等式ax2＋bx－6<0的解集为{x|－3有解得故A，C错误，B正确；不等式x2－bx－2a≥0即x2－x－2≥0，可得解集为{x|x≤－1，或x≥2}，故D正确．
4．已知关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是______________．
解析：由题意得方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，所以实数m的取值范围是(－∞，0).
答案：(－∞，0)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：(1)一元二次不等式的常见解法．
(2)简单的分式不等式的解法．
2．须贯通：解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法，结合图象即可写出一元二次不等式的解集；解含参数的一元二次不等式需要分类讨论．
3．应注意：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共37张PPT)
2．2.3　一元二次不等式的解法
新课导入 学习目标
　　前面我们学习了一元二次方程x2－2x－3＝0的解集，它与一元二次不等式x2－2x－3>0有什么样的关系呢？这节课我们一起研究一下吧． 1.解一元二次不等式的概念．
2．掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法．
3．会解简单的分式不等式．
一　解一元二次不等式
[知识梳理]
1．一元二次不等式的概念
一般地，形如________________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且__________．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
ax2＋bx＋c>0　
a≠0
2．一元二次不等式的解法
(1)因式分解法
一般地，如果x10的解集是_______________________．
(2)配方法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为________________或____________的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集，如下表：
(x1，x2)　
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
(x－h)2>k　
(x－h)2角度1　解不含参数的一元二次不等式
[例1] 求下列不等式的解集：
(1)(对接教材例1)x2－10x－600>0；
【解】　因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0，
因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞).
(2)(对接教材例2)－2x2＋5x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的方法
(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集．
(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解．
[跟踪训练1] 求下列不等式的解集：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解：因为原不等式可化为x2－6x＋10<0，
x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以原不等式等价于(x－3)2＋1<0，
所以原不等式的解集为 .
角度2　解含参数的一元二次不等式
[例2] 已知关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R).
(1)当a＝－2时，求不等式的解集；
(2)当a>0时，求不等式的解集．
解含参数的一元二次不等式的步骤

注意　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
[跟踪训练2] 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).
解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，有aa2；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以x≠0；
当0a2，
所以xa；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以x≠1；
当a>1时，有aa2.
综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
简单分式不等式的解法

注意　对于不等号右边不为零的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的分式不等式，然后再用上述方法求解．
√
{x|x<－2或x>1}
已知a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号．
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
√
课堂巩固自测
√
√
√
3．(多选)(2025·丹东期中)已知不等式ax2＋bx－6<0的解集为{x|－3A．a<0
B．－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根
C．b＝－1
D．不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}
√
√
(－∞，0)
1．已学习：(1)一元二次不等式的常见解法．
(2)简单的分式不等式的解法．
2．须贯通：解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法，结合图象即可写出一元二次不等式的解集；解含参数的一元二次不等式需要分类讨论．
3．应注意：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准．

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