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2．2.4　均值不等式及其应用
新课导入 学习目标
某金店有一架天平，左右两臂长略有不等，直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的质量a和b，然后以作为项链的质量来计算，试问：顾客吃亏还是店主吃亏？本节课就让我们一起来探究吧！ 1.了解均值不等式的证明过程，掌握均值不等式≤(a＞0，b＞0).2．能用均值不等式解决简单的最值问题，掌握几种求最值的技巧．3．能灵活应用均值不等式解决一些证明、比较大小问题．4．能够利用均值不等式解决实际问题．
第1课时　均值不等式
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
现有2个形状、大小完全相同的图形(图1和图2)，已知四边形ABCD为矩形，△BCE为等腰直角三角形，AB＝，BC＝(a＞0，b＞0)，图1和图2中阴影部分的面积分别为S1，S2.
INCLUDEPICTURE "../../生物/25RA-10.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1　求S1，S2的值．
提示：因为四边形ABCD为矩形，△BCE为等腰直角三角形，所以△ABF为等腰直角三角形，所以S1＝S△ABF＋S△BCE＝·＋·＝，S2＝S矩形ABCD＝·＝.
思考2　观察图1和图2中的阴影部分，S1，S2有什么大小关系？如何表示？
提示：S1≥S2，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
[知识梳理]
1．算术平均值与几何平均值
前提 给定两个正数a，b
结论 数____________称为a，b的算术平均值
数____________称为a，b的几何平均值
2.均值不等式
前提 a，b都是______数
结论 ≥
等号成立的条件 当且仅当________时，等号成立
几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大
[答案自填] 　　正　a＝b
[例1] 下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，＋≥2＝2
B．若a<0，b<0，则≤ab
C.当a>2时，a＋的最小值是6
D．当a>0，b>0时，≥
【解析】　A中，可能<0，所以A不正确；
B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以B不正确；
C中，a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时，等号成立，所以C正确；
D中，由均值不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确．
【答案】　C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
均值不等式的理解
均值不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用均值不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．
[跟踪训练1] 已知a>b>0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．b>> B．>b>
C．>>b D．>>b
解析：选C.由a>b>0，得>，ab>b2，则>b，因此>>b.
[例2] 若实数a，b满足0A． B．a2＋b2
C．2ab D．a
【解析】　由题知0＝，故排除A；因为a2＋b2>2ab，故排除C.故选B.
【答案】　B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
运用均值不等式比较大小的注意点
(1)要灵活运用均值不等式，特别注意其变形．
(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
[跟踪训练2] 已知a，b，x，y都是正实数，且 ＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是________．
解析：ab＝ab·(＋)＝a＋b≥2，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立；xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以ab≥xy.
答案：ab≥xy
角度1　直接求最值
[例3] (对接教材例1)(1)已知t>0，求y＝的最小值；
(2)当x>0时，求＋4x的最小值．
【解】　(1)依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，
当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立，即y＝(t>0)的最小值是－2.
(2)因为x>0，所以>0，4x>0，
所以＋4x≥2 ＝8，
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，
所以当x>0时，＋4x的最小值为8.
母题探究　本例(2)中，将“x>0”改为“x<0”，求＋4x的最大值．
解：因为x<0，所以－x>0，
则＋(－4x)≥2 ＝8，
当且仅当＝－4x，即x＝－时，等号成立，
所以＋4x≤－8，
所以当x<0时，＋4x的最大值为－8.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用均值不等式求最值时的注意点
(1)x，y一定都是正数．
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号是否能够成立．
角度2　配凑法求最值
[例4] 已知x＞3，求y＝2x＋的最小值．
【解】　因为x＞3，所以x－3＞0，2x－6>0，
所以y＝2x＋＝2x＋＝2x－6＋＋6≥2 ＋6＝2×2＋6＝10，
当且仅当2x－6＝，即x＝4时等号成立．
所以y＝2x＋的最小值是10.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
[跟踪训练3] (1)代数式x2＋取得最小值时对应的x值为(　　)
A．2 B．
C．±2 D．±
解析：选D.由题知，x2＞0，则x2＋≥2＝4，当且仅当x2＝，即x2＝2，x＝±时，等号成立．故选D.
(2)已知0＜x＜2，则x(5－2x)的最大值为________．
解析：因为0＜x＜2，所以0＜2x＜4，5－2x＞0，则x(5－2x)＝·2x·(5－2x)≤＝×＝，当且仅当2x＝5－2x，即x＝时等号成立，故x(5－2x)的最大值为.
答案：
拓视野 均值不等式链
若实数a>0，b>0，则有≤≤≤，当且仅当a＝b时取等号．其中，叫做正实数a，b的调和平均数，叫做正实数a，b的几何平均数，叫做正实数a，b的算术平均数， 叫做正实数a，b的平方平均数．
证明：若实数a>0，b>0.
(1)＝，所以即证≤，即证≤1，即证2≤a＋b，即证≤，显然上式成立．所以≤(当且仅当a＝b时取等号).
(2)由均值不等式得，≤成立(当且仅当a＝b时取等号).
(3)要证≤，即证()2≤，即证≤，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0，显然上式成立．所以≤(当且仅当a＝b时取等号).
综上可得，若实数a>0，b>0，则有≤≤≤成立，当且仅当a＝b时取等号．
[典例] (多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
【解析】　由均值不等式链：≥≥≥(a>0，b>0)，可得ab≤()2≤(a，b∈R).
对于A，B，x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3()2，即(x＋y)2≤4，即|x＋y|≤2，从而－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
对于C，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
对于D，当x＝，y＝－时，满足x2＋y2－xy＝1，x2＋y2<1，所以D错误．
【答案】　BC
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
均值不等式链丰富了均值不等式的内涵，实现了正实数a，b的倒数和、乘积、和、平方和之间的转化，对于一些不等式的证明和最值问题提供了更多思路，注意各不等式中等号成立的条件仍然是当且仅当a＝b.
[练习] 若正实数a，b满足a2＋b2＝m，则a＋b的最大值为(　　)
A． B．m
C．2 D．2m
解析：选A.因为a2＋b2＝m，a>0，b>0，
所以≤，
即a＋b≤·＝，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，
所以a＋b的最大值为.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t　 B．s>t
C．s≤t　 D．s解析：选A.因为b2＋1≥2b，当且仅当b＝1时等号成立，所以a＋b2＋1≥a＋2b，所以s≥t.
2．(多选)下列不等式成立的是(　　)
A．ab≤
B．ab≥
C．≥ab(a>0，b>0)
D．a＋b≤2
解析：选AC.a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
所以a2＋b2≥2ab，ab≤，故A正确，B不正确；
由均值不等式可知C是其变形，故C正确；
a>0，b>0时，a＋b≥2，故D不正确．
3．(教材P80练习AT2改编)不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为______________．
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y.
答案：x－2y＞0(或x＞2y)
4．已知x＞－2，则x＋的最小值为________．
解析：因为x＞－2，所以x＋2>0，所以x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6，
当且仅当x＋2＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为6.
答案：6
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1．已学习：(1)均值不等式的推导与证明；(2)用均值不等式比较大小；(3)求简单代数式的最值．
2．须贯通：利用均值不等式求最值．
3．应注意：忽略利用均值不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共35张PPT)
2．2.4　均值不等式及其应用
思考1　求S1，S2的值．
思考2　观察图1和图2中的阴影部分，S1，S2有什么大小关系？如何表示？
[知识梳理]
1．算术平均值与几何平均值
前提 给定两个正数a，b
结论
数____________称为a，b的算术平均值
数____________称为a，b的几何平均值
2.均值不等式
正　
a＝b
√
均值不等式的理解
均值不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用均值不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．
√
√
ab≥xy
利用均值不等式求最值时的注意点
(1)x，y一定都是正数．
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号是否能够成立．
配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
√
(2)已知0＜x＜2，则x(5－2x)的最大值为________．
拓视野 均值不等式链
[典例] (多选)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
√
√
均值不等式链丰富了均值不等式的内涵，实现了正实数a，b的倒数和、乘积、和、平方和之间的转化，对于一些不等式的证明和最值问题提供了更多思路，注意各不等式中等号成立的条件仍然是当且仅当a＝b.
√
课堂巩固自测
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t　 B．s>t
C．s≤t　 D．s解析：因为b2＋1≥2b，当且仅当b＝1时等号成立，所以a＋b2＋1≥a＋2b，所以s≥t.
√
√
√
x－2y＞0(或x＞2y)
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y.
6
1．已学习：(1)均值不等式的推导与证明；(2)用均值不等式比较大小；(3)求简单代数式的最值．
2．须贯通：利用均值不等式求最值．
3．应注意：忽略利用均值不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．

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