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3.2.1从平面向量到空间向量
1.如图，在平行六面体的棱中，与向量的模相等的向量有( )
A.0个 B.3个 C.7个 D.9个
2.给出下列命题：
①若空间向量a，b满足，则；
②若空间向量m，n，p满足，，则；
③空间中任意两个单位向量必相等；
④零向量没有方向.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是( )
A.与 B.与 C.与 D.
4.给出下列命题:
①若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆;
②若空间向量满足，则;
③若空间向量满足，则;
④空间中任意两个单位向量必相等;
⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列说法正确的是( )
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C.模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D.不相等的两个空间向量的模可能相等
6.给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足，则；
③在正方体中，必有；
④若空间向量m，n，p满足，，则.
其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7.下列命题为真命题的是( )
A.向量与的长度相等
B.空间向量就是空间中的一条有向线段
C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
8.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )
①任一向量与它的相反向量都不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.（多选）下列说法正确的是( )
A.单位向量都相等
B.两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同
C.四边形ABCD是平行四边形的充要条件是
D.一个向量的方向是任意的是向量模为0的充要条件
10.（多选）下列命题正确的有( )
A.在正方体中，必有
B.是向量的必要不充分条件
C.若空间向量a，b，c满足，，则
D.若空间向量m，n，p满足，，则
11.如图，在长方体中，长、宽、高分别为，，，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
（1）单位向量共有__________个；
（2）模为的向量共有__________个；
（3）与相等的向量共有__________个；
（4）的相反向量共有__________个.
12.关于空间向量的命题：
①方向不同的两个向量不可能是共线向量；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则.
其中所有假命题的序号是__________.
13.给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若满足且同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，必有.
其中正确命题的序号为__________________.(填序号)
14.给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足且a，b同向，则；
③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是；
④对于任意向量a，b，必有.
其中正确命题的序号为__________.
15.给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；②若满足且同向，则；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量，必有.其中正确命题的序号为___________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：向量的模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量的模相等的向量有，，，，，，，共7个.故选C.
2.答案：C
解析：命题①是假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但①中向量a与b的方向不一定相同.
命题②是真命题.向量的相等满足递推规律.
命题③是假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，所以不
一定相等
命题④是假命题.零向量的方向是任意的.
3.答案：D
解析：因为，则四边形是平行四边形，结合题图，
，A错误；
，B错误；
与方向不相同，C错误；
，D正确.
故选：D.
4.答案：D
解析：①假命题.若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一个点，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.
5.答案：D
解析：对于A，零向量的相反向量是其本身，故A错误；
对于B，终点构成一个球面，故B错误；
对于C，向量不能比较大小，故C错误；
对于D，非零向量的相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确.故选D.
6.答案：C
解析：对于①，当表示两个空间向量的有向线段的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，表示它们的有向线段的起点和终点都不一定相同，故①错误.
对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错误.
对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与的方向相同，模也相等，所以，故③正确.
对于④，由向量相等关系可知，故④正确.选C.
7.答案：A
解析：对于A，向量与是相反向量，所以向量与的长度相等，故A正确；
对于B，空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故B错误；
对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；
对于D，互为相反向量的两个向量不相等，但这两个相反向量的模相等，故D错误.选A.
8.答案：B
解析：零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.故选B.
9.答案：CD
解析：A不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同.B不正确，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同.C正确.D正确.
10.答案：ABC
解析：和的长度相等、方向相同，则，故A正确；
若，则a和b的模相等，方向不一定相同，若，则a和b的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故B正确；
根据向量相等的定义可知C正确；
向量的平行不具有传递性，当n为零向量时，零向量与任何向量都平行，但m，p不一定平行，故D错误.故选ABC.
11.答案：（1）8
（2）8
（3）3
（4）4
解析：（1）由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量分别为，，，，，，，，共8个向量，都是单位向量，
而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
（2）由于长方体的左、右两侧的对角线长均为，
故模为的向量有，，，，，，，，共8个.
（3）与向量相等的所有向量（除它自身）有，，，共3个.
（4）向量的相反向量为，，，，共4个.
12.答案：①③④
解析：对于①，例如同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量，因此①不正确；
对于②，长度相等、方向相同的向量是相等向量，因此②正确；
对于③，平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量，因此③不正确；
对于④，若，则，不正确，例如，而.
其中所有假命题的序号是①③④.
13.答案：④
解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；只有④正确.
14.答案：③④
解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；
对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；③④正确.
15.答案：④
解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误;对于②，向量是不能比较大小的，故错误;对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误;只有④正确.

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