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3.3.1空间向量基本定理
1.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点E是的中点已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.是空间的一个基底，向量，，，.若，则x，y，z的值分别为( )
A.，， B.，1， C.，1， D.，1，
3.若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则( )
A. B.
C. D.
5.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A.，，
B.，b，
C.，，
D.，，
6.如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
7.在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则( )
A. B.
C. D.
9.（多选）有下列命题，其中是真命题的有( )
A.若向量，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则
C.若，则P，M，A，B四点共面
D.若P，M，A，B四点共面，则
10.（多选）下列命题错误的是( )
A. 是向量不共线的充要条件
B.在空间四边形ABCD中，
C.在棱长为1的正四面体中，
D.设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面
11.在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱上一点，且，，则______________．
12.在四棱锥P ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，，，，，试用基底表示向量________.
13.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为PC，PD上的点，，，若，则____________.
14.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则____________.
15.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且.
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，，，求的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由已知，，
则，
故选：B.
2.答案：A
解析：
，
由空间向量基本定理，得，解得
故选：A.
3.答案：D
解析：是空间的一个基底，故，，不共面，
A选项，设，
则，无解，
故，，不共面，
故可构成空间的一个基底；
B选项，设，
则，无解，
故不共面，
故可构成空间的一个基底；
C选项，设，
则，无解，
故不共面，
故可构成空间的一个基底；
D选项，设，
则，
得，
故共面，
故不可构成空间的一个基底.
故选：D
4.答案：B
解析：连接，如下图所示：
因为N为的中点，则，
即，
所以，，
因为点M在上，且，则，
因此，
.
故选：B.
5.答案：B
解析：对于A，由，知，，共面，不能构成空间的一个基底；
对于C，由，知，，共面，不能构成空间的一个基底；
对于D，由，知，，共面，不能构成空间的一个基底；
对于B，假设，b，共面，则存在，，使，所以无解，所以，b，不共面，可以构成空间的一个基底.故选B.
6.答案：B
解析：连接，是的中点，，
，，
.
7.答案：D
解析：
.
故选:D.
8.答案：D
解析：连接AG，并延长交BC于点N，连接ON，如图.
由G是的重心，可得N为线段BC的中点，且.所以.所以，所以.故选D.
9.答案：AC
解析：A，C为真命题.B中需满足a，b不共线，D中需满足M，A，B三点不共线.
10.答案：ACD
解析：当时，向量可能共线，例如共线向量的模分别是2，3，此时也成立，故A中命题错误;
在空间四边形ABCD中， ，故B中命题正确;
在棱长为1的正四面体中，， 故C中命题错误;
由共面向量定理可知，若P，A，B，C四点共面，则需满足，且，因为，所以P，A，B，C四点不共面，故D中命题错误.故选ACD.
11.答案：
解析：连接，
则
，
又，所以．
故答案是：.
12.答案：
解析：因为，所以，
又，
所以
故答案为：
13.答案：
解析：因为
，
所以.
14.答案：
解析：因为点P与A，B，C三点共面，所以，解得.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1），，.
又，
（2）由（1）可知
.

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