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3.4.1直线的方向向量与平面的法向量
1.平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
2.在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的法向量可以是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为( )
A. B. C. D.
4.若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
5.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的一个法向量，则以下等式不成立的是( )
A. B. C. D.
6.若平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A.（1，0，1） B.（1，0，-1） C.（0，1，1） D.（-1，1，0）
7.如图，在正方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A. B. C. D.
8.已知平面内两向量，若为平面的法向量且，则的值分别为( )
A. B. C.1，2 D.
9.（多选）如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，下列结论中正确的有( )
A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
10.（多选）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
11.已知向量与是平面的两个法向量，则__________.
12.已知直线的方向向量，且过和两点，则________._________.
13.已知过不同两点，的直线l的一个方向向量，则实数_________.
14.在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中，.若平面ABC的一个法向量为，则__________.
15.（例题）如图，在长方体中，，，，M是AB的中点.以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设平面的法向量为，
对于A选项，，故A选项错误.
对于B选项，，故B选项错误.
对于C选项，，故C选项错误.
对于D选项，由于，，故D选项符合题意.
所以本题选:D.
2.答案：A
解析：由题意，得，，，则，，设平面的一个法向量是，则即令，则，，所以，故选A.
3.答案：D
解析：由题意得，直线l的一个方向向量为，
则，
因此直线l的单位方向向量为，故选D.
4.答案：C
解析：依题意，直线l的一个方向向量为，
其他三个均不合要求.
故选：C．
5.答案：C
解析：选项A和D显然成立.连接AC，BD，PC.由题意知平面，.易知，，又，平面，，选项B成立.故选C.
6.答案：D
解析：设平面的法向量为，对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，，且向量，不共线，故D选项正确.故选D.
7.答案：B
解析：设正方体的棱长为2，则，，，所以，.设向量是平面AEF的法向量，则取，则，，所以是平面AEF的一个法向量.经检验可知，A，C，D选项中的向量均不与共线.故选B.
8.答案：A
解析：.由为平面的法向量，得，即，解得.
9.答案：ABC
解析：，.连接（图略），，.直线平面，且，平面的一个法向量为.连接（图略），则，显然与平面不垂直.ABC正确，D错误.
10.答案：ACD
解析：设正方体的棱长为2，则.所以.设向量是平面的法向量，则取，得，则是平面的一个法向量.结合其他选项，检验可知只有B选项是平面的法向量.
11.答案：2
解析：由题意知，解得(舍去)或.
12.答案：;
解析：∵，而，
∴，
∴，.
13.答案：
解析：分析知，即且.又由题意，得，所以.
14.答案：-2
解析：因为，，所以.因为平面ABC的一个法向量为，所以，所以，解得.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为y轴垂直于平面，
所以是平面的一个法向量.
（2）因为，，，M是AB的中点，
所以M，C，的坐标分别为，，.
因此，.
设是平面的法向量，则，.
所以
所以
取，则，.
于是是平面的一个法向量.
分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量.

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