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3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系
1.已知u，v分别是平面，的法向量，则下列命题是真命题的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
2.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为，则能使的是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则( )
A. B. C. D.1
4.如果直线l的一个方向向量是，且直线l上有一点P不在平面内，平面的一个法向量是，那么( )
A. B. C.l在平面内 D.l与斜交
5.在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
6.已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则( )
A. B.
C.与相交但不垂直 D.以上都不对
7.在棱长为1的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动.若平面AMN，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列四个结论：
①存在点P，使得；
②存在点P，使得平面；
③的面积越来越小；
④四面体的体积不变.
其中，所有正确的结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面 B. C.平面 D.
10.（多选）已知P是所在平面外一点，若，，，则( ).
A. B. C. D.
11.如图所示，已知矩形ABCD，，，平面ABCD.若在BC上只有一个点Q满足，则a的值等于__________.
12.如图，在正四棱锥中，，M为PA的中点，，若，则实数的值为_________.
13.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为且，则___________.
14.如图，在正方体中，M，N分别为，的中点.证明：
（1）平面平面；
（2）平面.
15.如图，在长方体中，，E为的中点.
(1)求证：.
(2)在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求的长;若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：选项A，，A错误；选项B，，B正确；选项C，，C错误；选项D，，D错误.故选B.
2.答案：D
解析：由题意，得若使，则要使，即.对于A，，不符合题意.对于B，，不符合题意.对于C，，不符合题意.对于D，，符合题意.故选D.
3.答案：C
解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可得，，，，，则，，所以，.
设平面EFC的法向量为，则即
解得令，则，.
所以平面EFC的一个法向量为.
因为平面EFC，所以.
设，则，所以.
解得，所以，即.故选C.
4.答案：B
解析：直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，所以，所以直线l在平面内或者与平面平行.又直线l上有一点P不在平面内，所以.故选B.
5.答案：B
解析：因为，所以，解得.故选B.
6.答案：A
解析：，，，，，.
又，是平面的一个法向量.又平面与平面不重合，.
7.答案：A
解析：以点D为坐标原点，DA，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
设点，其中，设平面AMN的法向量为，，，则有
令，可得平面AMN的一个法向量为.又，且平面AMN，所以，即.
所以
，
又，所以当时，取得最小值，即的最小值为.故选A.
8.答案：C
解析：设正方体棱长为2，，
由平面，平面得，同理，
所以，，
由得，存在P使得，①正确，
正方体中，平面，，所以P到平面的距离不变，即P到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，④正确;
以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图，
正方体棱长为2，则，，，，
，，所以不可能与垂直，故平面也不可能成立，故②错误；
设，，，，
所以
设P到直线的距离为d，则
由二次函数性质知时，递减，所以d递减，又不变，所以的面积为递减，③正确，
综上：①③④正确
故选：C.
9.答案：ABC
解析：以D为原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取，得，，所以.对于A，因为，所以.又平面，所以平面，故A正确.对于B，D，因为，所以，故B正确，D错误.对于C，因为，所以，所以平面，故C正确.选ABC.
10.答案：AC
解析：因为，所以，选项A正确.
因为，所以AP与BP不垂直，选项B不正确.
因为，所以，选项C正确.
因为，所以AP与BC不可能平行，选项D不正确.
11.答案：2
解析：平面，是PQ在平面ABCD内的射影.由，得，则为直角三角形.
设，则，，，那么，整理得.
由题意，该方程有两个相等的实根，故，即.又，.
12.答案：
解析：如图建系，设，则，，，所以，，若，则，解得.
13.答案：-3
解析：因为，所以，所以，即，
所以，解得，，，所以.
故答案为：-3.
14.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，，.
设平面的法向量为，
，，
，可取.
同理平面的一个法向量为，，平面平面.
（2）证明：，N分别为，的中点，
，，，，
平面.
15.答案：(1)证明见解析;
(2)存在，.
解析：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.
设，则，，，，，
故，，，.
因为，所以.
(2)假设在棱上存在一点，使得平面，此时.
又设平面的法向量，
所以，得，取，得平面的一个法向量.
要使平面，只要，有，解得.
又平面，所以存在点P，满足平面，此时.

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