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4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
x 0 1 2 3
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中a，b为待定系数）( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
3.当时，，，的大小关系是( ).
A. B. C. D.
4.某山区加强了对环境的保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.三个变量，，随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3635 6655
5 29 245 2189 19685 177149
5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x成对数型函数、指数型函数、幂型函数关系的变量依次是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
6.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A. B. C. D.
7.函数，，，的图象所对应的曲线的序号依次为( )
A.①②③④ B.①③②④ C.②③①④ D.①④③②
8.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据.
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 10 20 39 81 160
则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知函数，，，当x在上逐渐增大时，有下列关于这三个函数的描述，其中说法正确的是( )
A.的增长速度越来越快 B.的增长速度越来越快
C.的增长速度一直快于 D.的增长速度有时慢于
10.（多选）函数，，在区间上( )
A.的递减速度越来越慢 B.的递减速度越来越慢
C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于的递减速度
11.三个变量，，随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
5 130 505 1130 2005 3130 4505
5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
5 30 55 80 105 130 155
其中关于x呈指数增长的变量是___________.
12.函数与中，在区间上增长较快的是__________.
13.三个变量，，随自变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3645 6633
5 29 245 2189 19685 177149
5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40
其中符合对数函数模型的变量是__________，符合指数函数模型的变量是__________，符合幂函数模型的变量是__________.
14.甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，.有以下结论：
①当时，乙总在最前面；
②当时，丙在最前面；当时，丙在最后面；
③若它们一直运动下去，则最终在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号是__________.
15.函数和的图象如图所示.设两函数的图象交于点，，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；
（2）结合函数图象，比较，，，的大小.
答案以及解析
1.答案：B
解析：根据题表中的数据描点如图所示.由图可知A，C，D均不满足题意，故选B.
2.答案：D
解析：当时，指数函数增长速度最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快.
3.答案：B
解析：在同一平面直角坐标系中分别画出函数，，的图象（图略），在区间上从上往下依次是，，的图象，所以.
4.答案：D
解析：设山区第一年绿色植被的面积为a，则，易知其定义域为，值域为，且随x的增大，y增大的速度越来越快.故选D.
5.答案：C
解析：指数型函数增长变化率最快，对数型函数增长变化率最慢，幂型函数增长变化率趋于中间，所以是幂型函数，是指数型函数，是对数型函数，故选C.
6.答案：B
解析：一次函数的增长速度不变，选项A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中的对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.故选B.
7.答案：B
解析：①是，②是，③是，④是，故选B.
8.答案：D
解析：对于A选项，当时，对应的y值分别为10，20，30，40，50；对于B选项，当时，对应的y值分别为10，20，40，70，110；对于C选项，当时，对应的y值分别为10，20，，30，；对于D选项，当时，对应的y值分别为10，20，40，80，160，而表中所给的数据，当时，对应的y值分别为10，20，39，81，160，通过比较，发现选项D中y的值与表格中y的值误差最小，即能更好地反映y与x之间的关系.故选D.
9.答案：BD
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示，
由图可知的增长速度没有变化，所以A错误；
在上，的增长速度越来越快，所以B正确；
由图可知在上，的增长速度最慢，而在上，的增长速度最快，所以C错误，D正确.
故选BD.
10.答案：ABC
解析：函数，，在区间上的图象如图所示，
在上，的递减速度越来越慢，故A正确；
的递减速度越来越慢，故B正确；
的递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度与的递减速度的快慢随x的不同取值而有所不同，故D错误.故选ABC.
11.答案：
解析：指数型函数呈“爆炸式”增长.
从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着x的增加都是越来越大，但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化.
故答案为：.
12.答案：
解析：任取a，，
令，，
因为，所以，，所以，
所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，
故增长较快的为.
13.答案：；；
解析：由题中表格，可知三个变量，，随着x的增大都是越来越大的，其中的增长速度最快，符合指数函数模型，的增长速度最慢，符合对数函数模型，符合幂函数模型.
14.答案：②③
解析：当时，，，；当时，，，，所以当时，乙不总是在最前面，故①不正确.根据三种函数的变化特点，当时，，可知当时，丙在最前面；当时，丙在最后面，故②正确；因为指数函数呈爆炸式增长，所以若它们一直运动下去，最终在最前面的是甲，故③正确.
15.答案：（1）曲线对应的函数为，曲线对应的函数为
（2）
解析：（1）曲线对应的函数为，曲线对应的函数为.
（2），，，，
，，.
由题图可以看出，当时，，
.
当时，，.
又，
.

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