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5.1方程解的存在性及方程的近似解
1.用二分法求方程在内的近似解时，记，可得，，，，据此判断，方程的根所在的区间是( )
A. B. C. D.
2.用二分法求函数的零点时，初始区间可选为( )
A. B. C. D.
3.已知用二分法计算函数的零点时，其附近的函数值参考数据如下表所示：
x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.6875
4.00 0.86 0.18
则方程的近似解可为（精确度为0.1）( )
A.1.50 B.1.66 C.1.70 D.1.75
4.下列图象对应的函数能用二分法求零点的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的零点为和3，则( )
A. B. C.4 D.5
6.若函数在定义域，且上是偶函数，且在上单调递减，，则函数的零点有( )
A.一个 B.两个 C.至少两个 D.无法判断
7.若函数在区间上恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数则函数的零点个数为( )
A.1 B.3 C.4 D.6
9.（多选）已知函数令，则下列说法正确的是( )
A.函数的单调递增区间为
B.当时，有1个零点
C.当时，有3个零点
D.当时，的所有零点之和为
10.（多选）设函数，则函数( )
A.在区间内有零点 B.在区间内无零点
C.在区间内有零点 D.在区间内无零点
11.若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为__________.
12.函数的所有零点之和是__________.
13.函数至多有_________个零点.
14.已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________.
15.已知函数，.
（1）若为偶函数，求实数a的值；
（2）当时，求函数的零点；
（3）若方程在上有两个不同的实数根，（），求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为与在R上均单调递增，所以在R上单调递增，
因为的图象连续不断，，，所以在上有唯一零点，即，故，所以方程的根落在区间内，且为.故选B.
2.答案：A
解析：，，，，，则，即初始区间可选.故选A.
3.答案：B
解析：由题表可知函数的零点在区间内，结合选项知方程的近似解可为1.66，故选B.
4.答案：C
解析：在A和D中，函数虽有零点，但这些零点均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点.在B中，函数无零点.在C中，函数图象是一条连续的曲线，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中图象对应的函数能用二分法求零点.
5.答案：A
解析：由题意知和3是函数的图象与x轴交点的横坐标，
所以，故.
故选A.
6.答案：B
解析：在上单调递减，，所以在上有且仅有一个零点2.又是偶函数，所以在上有且仅有一个零点.因此函数有两个零点.
7.答案：D
解析：令，则，易知函数与的图象最多有2个交点，所以函数最多有2个零点，
则函数在区间上有零点的充分条件为，即，则或
解得.
当时，，
显然函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，，，所以函数在上有两个零点，不符合题意.
经检验，当时，符合题意.
故实数a的取值范围为.故选D.
8.答案：C
解析：令，当时，，解得，.当时，，解得.综上，的解为，，.作出的图象如图所示.
由图象可得方程无解，方程有3个解，方程有1个解，因此函数的零点个数为4，故选C.
9.答案：BC
解析：作出函数的图象如图所示，
函数在上不单调，故A错误；
当时，直线与函数的图象有一个交点，即方程有一个解，所以当时，有1个零点，故B正确；
当时，直线与函数的图象有3个交点，即方程有3个解，所以当时，有3个零点，故C正确；
当时，方程等价于或，所以或，所以的所有零点之和为，故D错误.故选BC.
10.答案：BC
解析：令，得.
作出函数和的图象，如图，
由图可知函数和的图象在上无交点，在上有一个交点，所以在内无零点，在内有零点，故选BC.
11.答案：
解析：函数有且仅有两个零点等价于关于x的方程有两个不相等的实根，设，令，则.
则
①当，即时，对任意的恒成立.
所以，时，令，得，与有两个不相等的实根矛盾；
时，令，得，与有两个不相等的实根矛盾；
当且时，令，得，，此时有两个不相等的实根.
②当，即或时，分两种情况：
（i）若，则：
时，由，得，，
此时，，所以，（舍）；
时，由，得，，
此时，，所以，（舍）.
所以时，有两个实根，分别为1，.
（ii）若，则：
时，由，得，，此时，，所以（舍），；时，由，得，，此时，，所以（舍），.
所以时，有两个实根，分别为，.综上，a的取值范围是.
12.答案：3
解析：由解得，则函数的定义域为.
令，
则，解得，，
，
所有零点之和是.
13.答案：1
解析：当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且.
当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点.
综上，当，至多1个零点;当，至多1个零点.即函数至多1个零点
故答案为：1.
14.答案：1或-1
解析：因为，
作出函数的图像，如图所示：
由此可知函数在和上单调递减，
在上单调递增，且，，
又因为关于x的方程恰有两个不同的实数根，
结合图像可得或-1.
故答案为：1或-1.
15.答案：（1）
（2）和
（3）
解析：（1）由得，
即对任意实数x都成立，.
（2）当时，，
令，解得；
当或时，，
令，解得，
.
综上，函数的零点为和.
（3）当时，，令，可知方程在上最多有一个实数根；
当时，，令，
若，均为该方程在上的实数根，
则，不符合题意.
故，.
由得，；
由得，.
综上所述，实数a的取值范围为.

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