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5.2实际问题中的函数模型
1.基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
2.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16
3.在某种新型材料的研制过程中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A. B. C. D.
4.某山区加强了对环境的保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为（其中，k是正数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间最接近（参考数据：）( )
A. B. C. D.
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到（包含，但不包含）的驾驶员即为饮酒驾车，及以上则认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过__________小时才能驾驶汽车（参考数据：，，，）( )
A.1 B.3 C.5 D.7
7.高压输电线路电压损失估算口诀:架空铝线十千伏，电压损失百分数;输距电流积六折，再被导线截面除;输距千米电流安，截面毫方记清楚.其意义为“对于高压10kV的架空铝线，若输电线路的输距为xkm，电流为yA，导线截面为，则电压损失百分数.”据此可知，对于一条长度为10km，高压为10kV的输电线路，若当导线截面为50，电流为时的电压损失百分数为，当导线截面为40，电流为35A时的电压损失百分数为，则( )
A. B. C. D.
8.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于或等于.经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度是，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）( )
A.12.8分钟 B.14.4分钟 C.16分钟 D.17.6分钟
9.（多选）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则( )
A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为
C.当印制证书不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D.当印制证书超过2千个时，乙厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为
10.（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是( )
A.
B.第5个月时，浮萍面积就会超过
C.浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D.浮萍每月增加的面积都相等
11.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是，经过一段时间tmin后的温度是，则，其中表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要20min，那么降温到，需要的时长为__________min.
12.某市一家报刊摊点从报社买进一种晚报的价格为每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还能以每份0.04元的价格退回报社.在一个月内（以30天计算），有20天每天卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，应该每天从报社买进__________份，才能使每月所得的利润最大.
13.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为，若放入某理财产品，年利率可达.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息__________元.（参考数据：，，1.）
14.近几年由于北京房价的上涨，二手房市场交易火爆.房子几乎没有变化，但价格却上涨了.小张在2010年以80万元的价格购得一套新房，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是__________.
15.物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间t后的温度为T，则，其中为环境温度，a为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间的变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，8点18分时，壶中热水自然冷却到.
（1）求8点起壶中水温T（单位：℃）关于时间t（单位：分钟）的函数；
（2）若当日小王在1升水沸腾（水温达到）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后开始第二次加热？（结果保留整数）（参考数据：，）
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，且，所以指数增长率，设累计感染病例数增加1倍需要的时间为t天，则，即，即，两边取自然对数得，即，又，所以.故选B.
2.答案：D
解析：由题意可得，所以，而，所以，解得，故.故选D.
3.答案：B
解析：由题表中数据可知函数在上是增函数，且增长速度越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
4.答案：D
解析：设山区第一年绿色植被的面积为a，则，易知其定义域为，值域为，且随x的增大，y增大的速度越来越快.故选D.
5.答案：B
解析：由题意可知，所以，设过滤掉的污染物需要的时间为，则，所以，
所以
，
故选B.
6.答案：C
解析：由题意得血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，则，即，两边取对数得，即，
那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选C.
7.答案：C
解析：本题考查高压输电线路电压损失估算口诀的应用，由题知，，，所以.
故选:C.
8.答案：C
解析：由题意可知，当时，，得，所以.由，可得，解得（分钟），因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为16分钟.
9.答案：ABC
解析：由题图知甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，甲厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为，故A，B正确；
当印制证书不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元，故C正确；
易知当时，乙厂的总费用与印制证书数量x之间的函数关系式为，故D不正确.
故选ABC.
10.答案：AB
解析：
A √ 由图象，知当时，，所以，故.
B √ 当时，.
C × 令，得，令，得，.
D × 3月增加了，4月增加了，不相等.
11.答案：30
解析：由题得，
，代入得，解得，
所以，当时，解得，
即降温到，需要的时长为30min.
故答案为:30.
12.答案：400
解析：设每天从报社买进份，则每月利润，要使利润最大，则.
13.答案：99
解析：将1000元存入该理财产品，选择复利的计算方法，
则存满5年后的本息和为（元），
故共得利息（元），
将1000元存入银行，则存满5年后的本息和为（元），
即获得利息1118-1000=118（元），故可以多获利息（元）.
14.答案：
解析：这套房子一年后的价格为.
这套房子两年后的价格为，…，
由此可推得2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是.
15.答案：（1）
（2）27分钟后养生壶（在保温状态下）开始第二次加热
解析：（1）当时，设，
代入，，解得，则，
将，，，代入，得，
所以
（2）从降温至，由题意有，
得，
故经过14分钟后养生壶（在保温状态下）开始第一次加热；
从加热至需要（分钟），
从降温至，则，得，
则共需要（分钟），
故27分钟后养生壶（在保温状态下）开始第二次加热.

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