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6.4用样本估计总体的数字特征
1.某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为( )
A.115分，105 B.115分，265 C.120分，105 D.120分，265
2.某班50名学生骑自行车和骑电动车到校所需时间统计如下：
到校方式 人数 平均用时/分钟 方差
骑自行车 20 30 36
骑电动车 30 20 16
则这50名学生到校时间的方差为( )
A.48 B.46 C.28 D.24
3.设一组样本数据，，…，的方差为0.01，则数据，，…，的方差为( )
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
4.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A.， B.，
C.， D.，
5.为调查某地区中学生的每天睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取初中生800人，其每天睡眠时间的平均数为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间的平均数为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75
6.某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天的浓度（单位：），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，.已知这组数据的极差为40，则这组数据的分位数为( )
A.71 B.75.5 C.79 D.72
7.在某次全校体能测试中，高三某班40名学生体能测试成绩（满分100分）恰在内，绘成如下频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A.该班学生体能测试成绩的中位数是75分
B.该班的学生体能测试成绩达到优秀（80分及以上为优秀）
C.该班学生体能测试成绩的平均数是77分
D.该班学生体能测试成绩的众数是78分
8.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分（单位：分）数据从小到大排列如下：
甲队：7，12，12，20，，31；
乙队：8，9，，19，25，28.
这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x和y的值分别为( )
A.2和3 B.0和2 C.0和3 D.2和4
9.（多选）某学校高一年级有学生900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用分层随机抽样的方法抽取容量为180的样本，经计算得男生样本数据的均值为170，方差为19，女生样本数据的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是( )
A.样本中男生有100人 B.抽取的样本数据的方差为43
C.抽取的样本数据的均值为166 D.抽取的样本数据的均值为165.5
10.（多选）甲、乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数，满分为100分)如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，则( )
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 91 86 88 92 93
乙 87 85 86 99 9x
A.甲的平均成绩为91分 B.从甲的5次成绩中任取2次成绩，均大于甲的平均成绩的概率是 C.当时，甲、乙两人的平均成绩相等 D.乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是
11.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90分;乙班的平均成绩为90分，方差为60分.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是________分，方差是________分.
12.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a，中位数为b，则a与b的大小关系为________.
13.某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）.其中，成绩分组区间为，，，，，，，，.用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为_________________.
14.某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图.
甲种酸奶日销售量/箱 频率
0.10
0.20
0.30
0.25
0.15
合计 1
（1）求出频率分布直方图中a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
（2）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较和的大小；
（3）试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
15.梅州市沙田柚根据色泽、果面、风味等评分指标打分，得分在区间，，，内分别评定为三级柚、二级柚、一级柚、特级柚，某经销商从我市柚农手中收购一批沙田柚，共M袋（每袋），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：
（1）求a的值，并用样本估计该经销商采购的这批沙田柚的平均得分.
（2）该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：
方案1：将采购的这批沙田柚不经检测，统一按每袋350元直接售出；
方案2：将采购的这批沙田柚逐袋检测分级，并将每袋沙田柚重新包装成5小袋（每小袋10 kg），检测分级所需费用和人工费平均每袋20元，各等级沙田柚每小袋的售价和包装材料成本如下表所示：
沙田柚等级 三级 二级 一级 特级
售价/（元/小袋） 55 68 85 98
包装材料成本/（元/小袋） 2 2 4 5
假设这批沙田柚各级比例按前面随机抽取的20袋的样本结果估计，并可以全部销售出去，那么该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？请通过计算说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：依题意，，，，，
所以全班学生的平均成绩（分）；
全班学生成绩的方差为
.
故选：B
2.答案：A
解析：由已知可得，骑自行车平均用时（单位：分钟），方差，
骑电动车平均用时（单位：分钟），方差，骑自行车人数占总数的，骑电动车人数占总数的.
故这50名学生到校所需时间的平均数，方差.
故选A.
3.答案：C
解析：由已知条件可知样本数据，，…，的平均数，方差，则数据，，…，的平均数为.
所以这组数据的方差，故选C.
4.答案：B
解析：根据平均数，方差以及方差与标准差的关系，得各选项对应样本的标准差如下表.
选项 平均数 方差 标准差s
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.
5.答案：B
解析：估计该地区中学生每天睡眠时间的平均数为（小时），
估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为.故选B.
6.答案：C
解析：因为这组数据的极差为40，最小值为41，所以m应为最大值，为，将这组数据从小到大排列为41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，
因为，所以这组数据的分位数为79，故选C.
7.答案：C
解析：设中位数为x分，则，解得，故A错误；
成绩为80分及以上的频率为，所以有的学生体能测试成绩达到优秀，故B错误；
（分），故C正确；
众数是77.5分，故D错误.
故选C.
8.答案：C
解析：由题意得，甲队得分数据的中位数为，故乙队得分数据的中位数为，，
又，，，.故选C.
9.答案：ABC
解析：样本中男生有（人），故A正确；抽取的样本数据的均值为，故C正确，D错误；
抽取的样本数据的方差为.故B正确.
故选ABC.
10.答案：BCD
解析：对于A，甲的平均成绩为，故A错误.对于B，样本空间，共10个样本点，其中满足题意的样本点有3个，为，，，故所求概率为，故B正确.易知C正确.对于D，乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能.又当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是，故D正确.
11.答案：80;
解析：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为分，
方差为
故答案为:80，
12.答案：
解析：因为频率分布直方图在左侧“拖尾”，
可知平均数小于中位数，即.
故答案为：.
13.答案：114
解析：观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为，
数学成绩在区间的频率为，
因此数学成绩的中位数，且，解得，
所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114.
故答案为：114.
14.答案：（1）；图见解析
（2）
（3）795箱
解析：（1）由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得
，解得.
根据题表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示：
（2）解法一：记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为箱，箱，
则，
，
所以
，
，所以.
解法二：比较两种酸奶的频率分布直方图，数据越集中，则方差越小，
由频率分布直方图可得，甲种酸奶对应的数据更集中，
故甲的方差小于乙的方差，即.
（3）由（2）得乙种酸奶的平均日销售量为26.5箱，
故乙种酸奶未来一个月的销售总量为（箱）.
15.答案：（1）；平均得分为56.25
（2）方案2所得利润更大
解析：（1）因为，所以，所以，所以估计经销商采购的这批沙田柚的平均得分为56.25.
（2）若经销商采用方案1，则收入为元.
若经销商采用方案2，则M袋沙田柚中三级沙田柚约（袋），（小袋），二级沙田柚约（袋），（小袋），一级沙田柚约（袋），（小袋），特级沙田柚约（袋），（小袋）.M袋沙田柚共卖：（元），M袋沙田柚的包装袋成本为（元），所以方案2的收入为（元）.因为，所以该经销商采用方案2所得利润更大.

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