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2.4.1函数的奇偶性
1.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
2.定义在R上的偶函数满足对任意的，有且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
3.已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则( )
A.3 B.1 C. D.
4.已知定义在R上的函数满足对任意，有，则( )
A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数
5.函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若对任意，均有，则实数t的最大值是( )
A. B.2 C. D.3
6.已知函数是定义在区间上的奇函数，且，当时，总有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在区间上的偶函数，若，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
9.（多选）已知函数是定义在区间上的偶函数，且在区间上是单调函数，，则( )
A. B. C. D.
10.（多选）下列函数是偶函数且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数是偶函数，则__________.
12.若函数为奇函数，则__________.
13.已知偶函数的部分图象如图所示，且，则不等式的解集为__________.
14.已知函数为奇函数，当时，，则___________.
15.已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的解析式；
（2）证明：在上单调递减；
（3）求不等式的解集.
答案以及解析
1.答案：B
解析：函数的定义域为R，关于原点对称，由，可得为奇函数，则函数的图象关于原点对称，可排除选项C；当时，，可排除选项A、D.故选B.
2.答案：C
解析：由题意得在上单调递减，因为是偶函数，所以在上单调递增，又，所以.
作出函数的大致图象如图所示，
所以当或时，，当时，，
不等式等价于或即或解得或，故不等式的解集为.故选C.
3.答案：C
解析：由题意得，，则.
故选C.
4.答案：D
解析：解法一：令，则有，解得；令，，则有，整理可得，因此函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，B错误；对于，变形可得，因此函数是奇函数，故C错误，D正确.
解法二：设，由，可得，则.令，得；令，，得，所以是奇函数，故选D.
5.答案：A
解析：因为区间有意义，所以，即，因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，所以，两边平方并化简得，设，其图象的对称轴为直线，因为，所以在上单调递增，
则，解得，又因为，所以，所以t的最大值为.故选A.
6.答案：D
解析：由题意得在区间上单调递增，不等式，即，因为函数是定义在区间上的奇函数，所以，
所以，
则，解得，
故原不等式的解集为.
故选D.
7.答案：C
解析：当时，恒成立，在上单调递减，是偶函数，即，的图象关于直线对称，
，，
又在上单调递减，，即，
，故选C.
8.答案：B
解析：由题意得，，所以，所以，所以，
易得函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，
所以.故选B.
9.答案：BD
解析：因为函数在区间上是单调函数，，且，
所以函数在区间上单调递减.
由偶函数的性质，知函数在区间上单调递增.
对于A，，故，故A错误；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选BD.
10.答案：BD
解析：对于A，为奇函数，不符合题意；
对于B，为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
对于C，的图象关于直线对称，所以该函数不是偶函数，不符合题意；
对于D，为偶函数，且在上单调递增，符合题意.
故选BD.
11.答案：1
解析：为偶函数，，即，解得.当时，，其定义域为R，且满足，故为偶函数.
12.答案：
解析：函数的定义域为R，由是奇函数，得，
即，
即，
而不恒为0，则，解得.
13.答案：
解析：补全的图象如图所示.
当时，要使，则，所以，当时，要使，则，所以，所以的解集为或.
14.答案：
解析：函数为奇函数，且在处有意义，
，
当时，，
，
.
15.答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）函数为定义在R上的奇函数，
，，
，，
，..
（2）证明：任取，且，
，
，，，，
，在上单调递减.
（3）由，得.
函数为奇函数，
，
又，，且在上单调递减，
，即，解得.
原不等式的解集为.

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