资源简介

2.4.2简单幂函数的图象和性质
1.在同一坐标系中，函数，的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
2.已知幂函数的图象过点，则等于( )
A. B.3 C. D.2
3.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则( )
A. B. C.1 D.或1
4.在函数，，，中，幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知函数，，的图象如图所示，则( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
6.小强在研究幂函数的图象和性质时得到如下结论，其中正确的是( )
A.幂函数的图象必过定点和 B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.幂函数为偶函数 D.幂函数在其定义域上为减函数
7.“”是“幂函数在上单调递减”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.幂函数在上为减函数，则m的值为( ).
A.1或3 B.1 C.3 D.2
9.（多选）已知幂函数的图像经过点，则( )
A.函数是偶函数 B.函数在定义域内是增函数
C.函数的图像一定经过点 D.函数的最小值为0
10.（多选）若幂函数的图像不过原点，则实数m的取值为( )
A.0 B.2 C.1 D.无解
11.若是幂函数，则_________.
12.已知幂函数的图像与两条坐标轴都没有交点，且不经过第三象限，则____________（写出一个满足条件的函数即可）.
13.幂函数的图象与y轴没有交点，则___________.
14.函数是幂函数，且其图象过原点，则__________.
15.已知幂函数的图象过点.
（1）求实数n的值；
（2）设函数，用定义证明：在上单调递减.
答案以及解析
1.答案：D
解析：当时，的图象位于第一象限且单调递减，的图象位于第四象限且单调递增，如选项C所示.
当时，，，没有符合要求的选项.
当时，的图象位于第一象限且单调递减，
若，则的图象位于第一象限且单调递增（增速越来越慢），没有符合要求的选项；
若，则的图象位于第一象限且单调递增（增速不变或越来越快），如选项A，B所示.
故选D.
2.答案：A
解析：由幂函数的定义可得，将代入，得，解得，所以.故选A.
3.答案：B
解析：由题意得，解得或，当时，，其图象与坐标轴的交点为，不满足题意，舍去；
当时，，满足题意.故选B.
4.答案：B
解析：形如（为常数）的函数为幂函数，所以只有是幂函数，故选B.
5.答案：D
解析：由的图象关于y轴对称可知为偶函数，故.
由的图象关于原点对称可知为奇函数，故.
由的图象可知既不是奇函数，也不是偶函数，故.
故选D.
6.答案：B
解析：对于A，幂函数的图象不过点，错误；对于B，当时，，幂函数的图象不可能过第四象限，正确；
对于C，幂函数的定义域为，不关于原点对称，所以幂函数既不是奇函数也不是偶函数，错误；
对于D，当时，；当时，，不是定义域上的减函数，错误.
故选B.
7.答案：A
解析：当时，，在上单调递减，充分性成立；
若幂函数在上单调递减，则解得或，必要性不成立.
因此为充分不必要条件，故选A.
8.答案：C
解析：是幂函数，，或.当时，，在上为增函数，不合题意；当时，，在上为减函数.
9.答案：BD
解析：依题意，得，解得.所以.所以的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以A错误.易知在上单调递增，所以B正确.因为，所以C错误.因为，所以D正确.故选BD.
10.答案：BC
解析：由题意，得，解得或.故选BC.
11.答案：5或-1
解析：因为是幂函数，所以，即，解得或.
12.答案：（或等）
解析：设幂函数.因为其图像与两条坐标轴都没有交点，所以.又因为图像不经过第三象限，所以是偶函数或定义域为，如，等.
13.答案：0
解析：根据幂函数的定义得，
解得或；
当时，，图象与y轴有交点，不满足题意；
当时，，图象与y轴没有交点，满足题意；
综上，，
故答案为：0.
14.答案：-3
解析：因为函数是幂函数，所以，解得或-3.当时，，其图象不过原点，舍去；当时，，其图象过原点.故.
15.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由函数是幂函数，得，解得.
当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意；
当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点，
所以，函数，.
（2）证明：由（1）知，函数，则函数.
任取，且，
则，
由，得，且，因此，
则，即，
所以函数在上单调递减.

展开更多......

收起↑