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专题05 导数及其应用
知识点一 切线方程及应用
1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
故答案为：.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
知识点二 单调性及其应用
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
知识点三 极值与最值
1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【解析】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
2．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【解析】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【解析】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
知识点四 零点或交点个数
1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
知识点五 导数的综合应用（小题）
1．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
知识点六 导数的综合应用（解答题）
1．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）法1：，
因为，故，故，
当时，即，
当时，即，
故在上为增函数，在为减函数，
故在上的最大值为.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到，同时又有，
故在上的最大值为，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，
若任意与交集为空，
则且，此时无解，
矛盾，故无解；故存在，使得，
法2：由余弦函数的性质知的解为，
若每个与交集都为空，
则对每个，必有或之一成立.
此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.
故存在，使得成立.
（3）法1：记，
因为，
故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.
当时，，
当时，，
此时，
令，则，
而，
，故，
当，在（2）中取，则存在，使得，
取，则，取即，
故，故，
综上，可取，使得等号成立.
综上，.
法2：设.
①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.
所以对任意恒成立，这直接得到.
设，则根据恒成立，有
所以均不超过，
再结合，
就得到均不超过.
假设，则，
故.
但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.
所以假设不成立，这意味着.
②另一方面，若，则由（1）中已经证明，
知存在，使得
.
从而满足题目要求.
综合上述两个方面，可知的最小值是.
2．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点，且.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【解析】（1）当时，，，
则，则，且，
则切点，且切线的斜率为，
故函数在点处的切线方程为；
（2）（i）令，，
得，
设，
则，
由解得或，其中，；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
且当时，； 当时，；
如图作出函数的图象，
要使函数有3个零点，
则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点.
结合图象可知，.
故的取值范围为；
（ii）由图象可知，，
设，则，
满足，由可得，
两式作差可得，
则由对数均值不等式可得，
则，故要证，
即证，只需证，
即证，又因为，则，
所以，故只需证，
设函数，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
故，即.
而由，
可知成立，故命题得证.
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数·证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析.
【解析】（1）由题得，
因为，所以，设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
，令，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上存在唯一极值点，
对函数有在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立，
又因为，时，
所以时，
所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知，则，，
，
则
，
，
，
即在上单调递减.
（ii），证明如下：
由（i）知：函数在区间上单调递减，
所以即，又，
由（1）可知在上单调递减，，且对任意，
所以.
3．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）设，，
由可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为.
（2）因为，所以直线的方程为，即，
设，，
由（1）可知，在上单调递增，而，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
而当时，，所以总有，单调递增
故，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线，直线，
所以，，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以
，
由（1）可得当时，，
所以，
所以.
解法二：由可设，又，所以，即，
因为直线的方程为，易知，
所以直线的方程为,
，.
所以
,由（1）知,当时，，所以,
所以.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
2．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【解析】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，故在点处的切线方程为.
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域R上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)证明见解析
(3)2
【解析】（1），
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入则，
即，则，，
令，
假设过，则在存在零点.
，在上单调递增，，
在无零点，与假设矛盾，故直线不过.
（3）时，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知.所以，
则切线的方程为，
令，则.
，则，
，记，
满足条件的有几个即有几个零点.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【解析】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
6．（2024·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意成立，求实数的值；
(3)若，求证：．
【答案】(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【解析】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.
（2）设，则，从而当时，当时.
所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.
设，则
.
当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有.
一方面，若对任意，都有，则对有
，
取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，则对任意都有，满足条件.
综合以上两个方面，知的值是2.
（3）先证明一个结论：对，有.
证明：前面已经证明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知当时，当时.
所以在上递减，在上递增.
不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时，有，结论成立；
情况二：当时，有.
对任意的，设，则.
由于单调递增，且有
，
且当，时，由可知
.
所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.
故在上递减，在上递增.
①当时，有；
②当时，由于，故我们可以取.
从而当时，由，可得
.
再根据在上递减，即知对都有；
综合①②可知对任意，都有，即.
根据和的任意性，取，，就得到.
所以.
情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.
而根据的单调性，知或.
故一定有成立.
综上，结论成立.
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
1．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【解析】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【解析】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【解析】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【解析】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
6．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1），则，
所以，故处的切线斜率为；
（2）要证时，即证，
令且，则，
所以在上递增，则，即.
所以时.
（3）设，，
则，
由（2）知：，则，
所以，故在上递减，故；
下证，
令且，则，
当时，递增，当时，递减，
所以，故在上恒成立，
则，
所以，，…，，
累加得：，而，
因为，所以，
则，
所以，故；
综上，，即.
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【解析】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
知识点一 切线方程及应用
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由可得，
则，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
且直线的斜率为，即，解得.
故选：A
2．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】B
【解析】与的图象相切，设切点为，
则，故，
由，即，将代入上式，得，故.
故选：B.
3（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】B
【解析】解法一：令，，则，
设直线与的切点为，
则切线方程为，即，
又因为，所以，解得，，所以切线方程为，
令，则，
设直线与的切点为，所以 ①，
又因为切点在直线上，所以，即 ②，
由①和②可得，所以，解得．
解法二：设切点分别为，，
．∴，．
同理．∴，∴，∴．
故选：B．
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
【答案】/0.5
【解析】因为，所以.
所以曲线在点的切线方程为：.
因为，设曲线与该切线的切点为.
所以，所以，即.
又，
所以.
故答案为：.
5．（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】求导得，则，又，
所以切线方程为，整理得.
故答案为：
6（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为，则，即，
整理得，令，
依题意，函数有3个不同的零点，求导得
，当时，，在上单调递减，值域为；
当时，，在是单调递增，值域为；
当时，在上单调递减，值域为，
由函数有3个零点，得，即，
解得，又，则，
所以的取值范围为.
故答案为：
7．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
【答案】-1
【解析】对函数求导得：.
因为直线为曲线的一条切线，
设切点为，令，即①.
又②，用①除以②得：.
所以.
所以,所以.
设，则求导得.
当时，，所以，此时在上单调递增；
当时，，所以，此时在上单调递减.
所以，所以的最小值为-1.
故答案为：-1.
8．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ．
【答案】或
【解析】因为，
当点P为切点时，则切线的斜率为，
所以所求切线方程为，即；
当P点不为切点时，设切点坐标为，
切线的斜率为，
则切线方程为，
因为切线过点，且，
所以，
整理，得，解得或1（舍去），
则，
所以切点坐标为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
所以所求切线的方程为或或．
故答案为：或．
知识点二 单调性及其应用
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得：，令，
则，
且，
再令，则，
当时，，即函数在上为增函数，
当时，，即函数在上为减函数，
，
在上恒成立，在上为减函数；
，，即.
故选：C.
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意有：当时，，所以，
所以，当时，，所以，所以，
又在上单调递减，所以，解得，所以，
故选：C.
3．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
令，则当时，，
又因为，
当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0，
故的取值范围是.
故答案为：.
4．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，可得，
所以在上不单调，所以在上有解，
即在有解，即存在，使得，
又因为在上单调递减，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2025·云南丽江·三模）已知函数的定义域为R，，且.
(1)求的值
(2)若为一次函数，且在内单满递增，求m的取值范围.
【答案】(1).
(2)
【解析】（1）因为，所以，.
（2）因为为一次函数，
所以设，
因为，且，
所以有，
，
因为函数在内单满递增，
所以有在内恒成立，
于是由在内恒成立，
由，当时，函数，总有，
因此要想在内恒成立，只需，
所以m的取值范围为
知识点三 极值与最值
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，求导得，
由是函数的极值点，得，解得，
函数，，
当或时，；当时，，
所以函数的极小值.
故选：A
2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，由，可得
函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根，
即函数与在上有两个交点，
因，，，
所以，解得.
故选：A.
3．（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由
令，则．
设，则在上恰有两个极值点和两个零点，
如图，，
解得．
故选：A.
4．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域，
，
当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此的极小值为，极大值为，
又易知，所以函数在上的值域为，
结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为
所以的最小值为，
故选：B
5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得，且既有极大值又有极小值，
故有两个不相等的实数根，
即，解得或.
设，
若在区间上单调递减，则需满足，解得.
若在区间上单调递增，则或
解得无解或.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
6．（2025·广东佛山·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
(2)若存在两个极值点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得
，则
因为切线经过坐标原点，所以，所以；
（2）解法1：令，因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点
令
令，求得
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
结合图象，方程有2个变号零点的条件是
即存在2个极值点的条件是
解法2（半分离）：令，因为存在2个极值点，
所以方程有2个变号零点，即与的图象有两个交点，
先分析两个函数图象相切的情况，设是函数的切点，有
，所以
作出图象如下：
由图象可知，要使得有两个交点，，即.
知识点四 零点或交点个数
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点，
当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需；
当时，，令，得，
令，，
令，解得，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得最大值，
又，.
要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点，
则需满足，所以.
综上，实数a的取值范围为.
故选：B
2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当时，求单调区间
(2)讨论极值点的个数.
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【解析】（1）当时，定义域为，且，
令，解得或（舍去），即，
当时，；当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数的定义域为，
由题意知，，
当时，，所以在上单调递增，即极值点的个数为个；
当时，令，，可得，
易知，
故解关于的方程得，（舍去），，
即，则，
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
即极值点的个数为个.
综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个.
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：函数在上单调递增；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）当时，，则，
要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立，
令，
因为，令，
解得，
由，得，此时函数单调递增，
由，得，此时函数单调递减，
所以当时，取得最小值，
因为，所以恒成立，
即在上单调递增；
（2）方法一：令，等价于，
设，
当时，没有零点；
当时，，
当时，，函数单调递增，
因为，
所以函数在上有一个零点；
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，的最小值为，
若．即在上没有零点；
若，即在上有一个零点；
若，即，
因为，当时，，
所以在上有两个零点；
综上，当时，有3个零点.
方法二：当时，恒成立，没有零点，故，
当时，单调递增，单调递减，
故在上单调递增，
且当时，，
故在上有唯一零点，
所以在上有三个零点等价于在上有两个零点，
当时，由，
即，得，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，，
且当时，，当时，，
故要使在上有两个零点，
则只要即可，解得；
综上，当时，有3个零点.
知识点五 导数的综合应用（小题）
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．在处的切线方程为
B．在区间上是减函数
C．的最大值是
D．的解集为
【答案】ABD
【解析】由题意得，则，
因，故在处的切线方程为，故A正确；
令得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，故B正确；
因，则时，故C错误；
因，故当时，故D正确.
故选：ABD
2．（2025·全国·二模）（多选）已知函数在处有极值，则（ ）
A．在上单调递增 B．的极大值为
C．直线是曲线的切线 D．
【答案】ACD
【解析】因为，在处有极值，
所以，解得：；
当时，，，
所以当或时，；当时，；
所以在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，当时，，则在上单调递增，A正确；
对于B，的极大值为，B错误；
对于C，令，解得：或，又，
所以在处的切线为，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD.
3．（2025·河南信阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．有两个极值点
C．有三个零点 D．是单调函数
【答案】ABC
【解析】因为的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数是奇函数，故A正确；
因为，所以或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以分别为极小值点和极大值点，故B正确；
因为，
根据函数单调性及零点存在定理，可知有三个零点，故C正确；
由B选项中推理可知，在定义域上不是单调函数，故D错误.
故选：ABC
4．（2025·海南·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【解析】由题意，，求导可得，令，得，
当或时，；当时，.
所以在和上单调递增，在上单调递减，且，
可作出大致图象如图所示．
对于A，，所以函数的图象关于点成中心对称，故A正确；
对于B，由图象可知，是函数的极大值点，故B错误；
对于C，当时，，因为，结合函数图象和单调性可得，故C正确；
对于D，当时，，此时，，则，所以，故D正确．
故选：ACD.
知识点六 导数的综合应用（解答题）
1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在上单调递减；
当 时， 在 是减函数，在 是增函数.
(2).
【解析】（1）.
，，∴当 时，，∴ 在上单调递减；
当 时，.
令 ，解得：.
由，解得：；由，解得：.
时， 单调递减，单调递增；
综上可知：当 时， 在上单调递减；
当 时， 在 是减函数，在 是增函数.
（2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数，
，
∴，
∴（*）.
令，则，
∴在上单调递减，
又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是.
2．（2025·全国·二模）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：（，且）.
【答案】(1)
(2)（i）函数不存在极值，理由见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）由，得，则，又，
所以函数的图象在处的切线方程为，即.
（2）（i）函数不存在极值，理由如下：由，解得且，
所以函数的定义域为，由，则，
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，
即，所以在和上单调递减，则函数不存在极值.
（ii）由（i）知，函数在上单调递减，则对任意，，即，
所以当时，，则，即，
所以，，，…，，
以上式子相加得，，
即（，且且时，等号成立），
3．（2025·全国·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出k与的函数关系式，并证明．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）（ii），证明见解析
【解析】（1）因为的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递增，
，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）（i）由（1）知，需满足，在处取得极大值，且，
，令，显然在上单调递减，，
所以，又因为，，
所以在和上各有一个零点，且，
综上所述，．
（ii），
所以恒成立，
当时，不能恒成立，所以，
由均值不等式知：，且时等号成立，
所以，（*）
当因为，则，所以不等式（*）要成立，则，
得，此时.
因为，所以
整理得，即，又，
所以，由（1）得，．
4．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数，
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若时，恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点、，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，则，
所以，，.
故切线方程为，即，
（2）因为在上恒成立，
进而，即．
令，其中，则，
当时，，则，此时，函数单调递增，
当时，，则，此时，函数单调递减，
当时，，因为，因此，
所以，，故，
因此，实数的取值范围是.
（3）因为函数在内有两个不同零点、，
则方程在内有两个根、，即，
由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减．
故，欲证，即证，
由于且函数在单调递减．所以只需证明，
即证，欲证，即证，即，
即证，即证，而该式显然成立，
欲证，即证，且，即证，
即证，即证，即证，
令，只需证，
，
令，
所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证．
5．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.
(1)求;
(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；
(3)证明：对任意的，均有.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由得，
令，则，
①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，即，又，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
要证，即证，
进一步变形为证，即证.
因为，令，则需证（），
即证（）
设，，，
当时，，在单调递增，所以，得证.
（3）由（1）知，且，
当时，，即；
令（），则.
要证，即证，
因为，所以，
而，得证.
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）由，可得，
当时，，即函数在上为增函数；
当时，由，解得，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上为增函数；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）因函数的定义域为，，
令，则，
即函数在上单调递增，当时，，且，
故存在，使，则得.
当时，，即，故函数在上单调递减；
当时，，即，故函数在上单调递增.
故，
因，故得，即，故.
（3）由可得，即，
设，则，故函数在上单调递增，则.
再设，则，
当时，，故函数在上单调递减；
当时，，故函数在上单调递增，
故，故得，即的取值范围是.
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专题05 导数及其应用
知识点一 切线方程及应用
1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
知识点二 单调性及其应用
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
知识点三 极值与最值
1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
2．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
知识点四 零点或交点个数
1．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点五 导数的综合应用（小题）
1．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
知识点六 导数的综合应用（解答题）
1．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．
2．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点，且.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明．
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数·证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
3．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
2．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
6．（2024·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意成立，求实数的值；
(3)若，求证：．
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
1．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
6．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
知识点一 切线方程及应用
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
3（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
5．（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为 .
6（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
7．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
8．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ．
知识点二 单调性及其应用
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
4．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ．
5．（2025·云南丽江·三模）已知函数的定义域为R，，且.
(1)求的值
(2)若为一次函数，且在内单满递增，求m的取值范围.
知识点三 极值与最值
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃白银·三模）已知函数在上恰有两个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 .
6．（2025·广东佛山·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
(2)若存在两个极值点，求的取值范围．
知识点四 零点或交点个数
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当时，求单调区间
(2)讨论极值点的个数.
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：函数在上单调递增；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
知识点五 导数的综合应用（小题）
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．在处的切线方程为
B．在区间上是减函数
C．的最大值是
D．的解集为
2．（2025·全国·二模）（多选）已知函数在处有极值，则（ ）
A．在上单调递增 B．的极大值为
C．直线是曲线的切线 D．
3．（2025·河南信阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．有两个极值点
C．有三个零点 D．是单调函数
4．（2025·海南·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点
C．当时， D．当时，
知识点六 导数的综合应用（解答题）
1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当，恒成立，求的取值范围．
2．（2025·全国·二模）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)（i）函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：（，且）.
3．（2025·全国·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性：
(2)若恰有两个零点，且
（i）求的取值范围；
（ii）设在定义域内单调递增，求出k与的函数关系式，并证明．
4．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数，
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若时，恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点、，求证：.
5．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.
(1)求;
(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；
(3)证明：对任意的，均有.
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若，求的取值范围．
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