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专题三 导数专题归纳总结及测试
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（2025·重庆·三模）若函数 在上有零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2025·河南·三模）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·山东威海·模拟预测）设函数，则（ ）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
10．（2025·广东珠海·模拟预测）对于以下结论正确的选项是（ ）
A．已知，则
B．的最小值是
C．有两个零点，则实数的最小值为
D．若不等式恒成立，则正实数的最小值为
11．（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ．
13．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 .
14．（2025·安徽·三模）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分
15．（2025·河南郑州·三模）已知函数．
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)在（1）的条件下，若函数有两个零点，求实数m的取值范围．
16．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，证明：.
17．（2025·天津河北·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；
(3)若有两个零点，且，证明：．
18．（2025·浙江·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数无极值点，求实数的取值范围；
(3)若为函数的极小值点，证明：.
19．（2025·贵州安顺·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围；
(3)若且，有恒成立，求实数的取值范围．
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专题三 导数专题归纳总结及测试
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】由已知得，令，得，
当时，单调递减，
当或时，单调递增，
所以的极小值为，解得.
故选：A.
2．（2025·重庆·三模）若函数 在上有零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
对函数求导得.
所以函数在上单调递减.
因为在上有零点，
所以.
即：，.
求解得：.
故选：A.
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以由题意得，
所以切点，所以.
故选：C
4．（2025·河南·三模）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，
得到函数的图象，则，
当时，，
因为在上只有一个极大值点，则，解得，
因为，故正整数的最大值为.
故选：D.
5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，该函数的定义域为，，
由可得或，由可得，
且当时，，当时，.
所以，函数的单调递减区间为、，增区间为，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的增区间为、，减区间为，
因为，则，
因为，即，
接下来比较与的大小，
作差得，
所以，，因此，.
故选：D.
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得：，
构造函数，易知在上单调递增，
所以可得在时恒成立，
即，
令，
则，令，可得：，
当时，，当时，，
也即在单调递增，在单调递减，
当时，取得最大值，
所以，
所以实数的取值范围是，
故选：D
7．（2025·河南·三模）若，都有，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，，即，
令且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，此时，则，不合题设，
故，所以，
而在上单调递增，则，
问题化为，在上恒成立，
令且，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，故.
故选：D
8．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令f(x)=0，得 即
令 则 (1-e)t-1=0，
令 则
令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增；
令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.
当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.
令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.
当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切.
如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为
如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上
故选：D.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·山东威海·模拟预测）设函数，则（ ）
A．有3个零点
B．过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C．与交点的横坐标之和为0
D．在区间上的取值范围是
【答案】BC
【解析】，
0 0
单调增 单调减 单调增
，
所以有2个零点，A不正确；
对于选项B：设切点为，则切线方程为，
代入原点，得，
故切线有且仅有一条，正确；
对于选项C：或，
若，根据对称性知，根之和为0，
若，方程只有一个根为0，故正确；
对于选项D：，又，
故在区间上的取值范围是，错误.
故选：BC.
10．（2025·广东珠海·模拟预测）对于以下结论正确的选项是（ ）
A．已知，则
B．的最小值是
C．有两个零点，则实数的最小值为
D．若不等式恒成立，则正实数的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，因为，构造函数，，当时，，是单调递增函数，又因为，则，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时取等，故B不正确；
对于C，已知，
令，单调递增，方程有两个根，等价于有两个根.
对求导，.
当且时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以在处取得最小值.
要使与有两个交点，那么.故C不正确.
对于D，由，两边同乘得，而.
令，求导，因为，所以，在单调递增.
因为，所以，即恒成立.
令，求导.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以在处取得最大值，则.
所以最小值是.故D正确.
故选：AD.
11．（2025·山东滨州·二模）已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，则，
故时，，单调递增；
时，，单调递减，
所以，且时，
因为直线与曲线相交于两点，
所以与图象有2个交点，如图：
所以，故A正确；
对于B，，不妨设，可得，
在点处的切线程分别为，
则得，
即，
因为，所以，即是变化的，故B错误；
对于C，因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，即
，所以，
所以
，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
得，即，
因为①，所以，
所以，故D正确.
其中不等式①的证明如下：不妨令，
由得，即，令，
则即证，
构造函数，，
所以在上单调递减，所以，
所以不等式成立，即①成立.
故选：ACD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ．
【答案】4
【解析】因为，
所以，
，
所以函数为奇函数且为增函数，.
由可得，即为.
因为，所以．当且仅当，时取等号．
故答案为：4
13．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】的定义域为R，
，
令，
若，则，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故存在最大值，不存在最小值，舍去；
若，，
若，则，此时，
其中，，
当且时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故存在最大值，不存在最小值，舍去；
若，即时，恒成立，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故存在最大值，不存在最小值，舍去；
若，则或，
当时，设的两根为，
开口向上，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
即为的最小值，故满足要求；
当时，设的两根为
开口向下，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
当趋向于时，趋向于，不存在最小值，
综上，
故答案为：
14．（2025·安徽·三模）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由可得，当时，不满足题意，
当时，方程两边同乘，
得，等价于，变形可得．
设函数，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又因为，当时，，且当趋向于时，趋向于0，
由知，只需满足或，
所以a的取值范围是．
故答案为：
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分
15．（2025·河南郑州·三模）已知函数．
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)在（1）的条件下，若函数有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1），
因为是函数的极值点，所以，
即，此时，
由，得；由，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，是函数的极小值点，故.
（2）由（1）可知有两个零点，
即方程有两个解．
当时，，
当时，，即．
设，函数零点个数为函数的图象与直线的交点个数．
，，
令，得或；令，得且．
所以函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增．
当时，；当时，；如图所示
，，
函数的图象与直线有两个交点，即或，
即或时，函数有两个零点.
16．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)设，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）定义域，，
①当时，，在上单调递减，
②当时，令得，
令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）法一：要证即证，
设，即，
设，则，令得，令得，
所以在上为增函数，在上为减函数，所以，
所以成立，所以得证.
法二：设，则，
因为，所以，
令，则，则在单调递增，
因为，，所以在上存在唯一零点，
当，，故，当，，故，
所以在单调递减，在单调递增，
则，其中，
所以，
所以，即得证.
17．（2025·天津河北·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；
(3)若有两个零点，且，证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】（1）由题设，则，且，，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题设，即且，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
所以，
当，时，，则在上单调递增，，符合；
当，时，，时，
所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合；
综上，；
（3）由，则，，且，
所以，故，
要证，需证，即，
需证，令，即，即证，
最终只需证明，令且，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以得证.
18．（2025·浙江·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数无极值点，求实数的取值范围；
(3)若为函数的极小值点，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1），，
又，在点处的切线方程为：.
（2）由题意知：的定义域为，
若函数无极值点，在上单调，
或在上恒成立；
，在上恒成立，
，，解得：；
下面证明充分性：
当时，，又，，
，
令，
当时，，
在上单调递增，又，为定义在上的偶函数，
在上单调递减，，，
在上单调递增，无极值点，充分性成立；
综上所述：.
（3）由（2）可得：当时，函数无极值点.
当时，令，则，
当时，，又，为定义在上的奇函数，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减；
函数存在唯一的极小值点，且满足.
下证：.
令，则，
令，则，
在上单调递增，即，
在单调递增，，即
又，，
又，，
即，，
即，，又，.
19．（2025·贵州安顺·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围；
(3)若且，有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为的定义域为，且，
则，即切点坐标为，斜率，
所以所求切线方程为.
（2）由（1）可得：，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当x趋近于0时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于，
可得的图象如图所示：
令，则
令，可得，
原题意等价于：与有2个交点，
结合函数图象可得，所以实数的取值范围为.
（3）因为，令，则，即，
由可得，
可知在内单调递增，
则，可得在内恒成立，
构建，则，
构建，则，
且，可知在内单调递增，
构建，可知在内单调递增，
且，
则在内存在唯一零点，
当时，，，可得，即；
当时，，，可得，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
且，则，，
可得，即，
可得，所以实数的取值范围为.
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