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3.1 导数的几何意义及运算（精讲）
考向一 导数的运算
【例1】（24-25山东淄博）求下列函数的导数.
(1) (2)； (3)； (4)
(5)； (6)； (7).
【一隅三反】
（24-25湖北）求下列函数的导数：
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)． (6)； (7)； (8)；
(9)； (10)．
考向二 导数值
【例2-1】（24-25江苏扬州）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B．-1 C． D．
【例2-2】（24-25山东聊城）若在上可导，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【一隅三反】
1．（24-25安徽蚌埠）已知函数，则等于（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
2.（2024山东）如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
3．（2024·上海黄浦）已知函数，则 ．
考向三 导数定义及几何意义
【例3-1】（24-25江苏盐城）已知函数在处可导，且则（ ）
A． B． C． D．2
【例3-2】（2025·河北唐山）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【例3-3】（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（2024春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
【一隅三反】
1.（24-25山西吕梁）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25安徽合肥）若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·新疆阿克苏）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（24-25山东济宁）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考向四 在型切线
【例4-1】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·广东·一模）曲线在点处的切线方程为 .
2（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
3（2025·四川·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
考向五 过型切线
【例5】（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 .
【一隅三反】
1.（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ．
2（2024四川绵阳·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ．
3.（2025四川雅安·期中）已知，则经过点的曲线的切线方程为 .
考向六 切线求参数
【例6-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则 ．
【一隅三反】
1.（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）若直线与曲线相切，则（ ）
A． B．1 C． D．
2（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
3（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与曲线相切，则 ．
考向七 公切线
【例7-1】（2024·山东）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 .
【例7-2】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线和都相切的直线l的方程为 .
2.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
3.（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为
4.（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
5.（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ．
考向八 切线的数量
【例8】（2025·河南）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
3．（2024北京）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条.
考向九 已知切线的条数求参数
【例9-1】（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（23-24辽宁本溪）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
3（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 .
考向十 切线方程的应用
【例10-2】（2024·河南）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】（23-24山东枣庄）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【例10-3】（2023·四川·校考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（2025海南）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
2（2024·陕西）设是曲线上的动点，且.则的取值范围是 .
3.（2024·江苏淮安）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为 .
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3.1 导数的几何意义及运算（精讲）
考向一 导数的运算
【例1】（24-25山东淄博）求下列函数的导数.
(1) (2)； (3)； (4)
(5)； (6)； (7).
【答案】(1)(2)(3)(4)
(5)(6)(7)
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：.
所以；
（6）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：.
所以
（7）函数可以看作函数和的复合函数，
，所以.
【一隅三反】
（24-25湖北）求下列函数的导数：
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)． (6)； (7)； (8)；
(9)； (10)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(7)(8)(9)(10)
【解析】（1）．
（2）．
（3）∵是常数函数，∴．
（4）∵，∴．
（5）∵，∴．
（6）．
（7）．
（8）．
（9），
．
（10）令，则，即．
考向二 导数值
【例2-1】（24-25江苏扬州）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】，令得，解得.故选：B
【例2-2】（24-25山东聊城）若在上可导，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由，可得，所以，解得，
则，则.故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25安徽蚌埠）已知函数，则等于（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】对求导，可得.
将代入中，可得.解得.
将代入原函数中，得到.
再将代入中，可得.
故选：D.
2.（2024山东）如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，
则切线，，，.故选：D．
3．（2024·上海黄浦）已知函数，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
则，解得：，
所以，则.
故答案为：.
考向三 导数定义及几何意义
【例3-1】（24-25江苏盐城）已知函数在处可导，且则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为函数在处可导，且，
所以.
故选：A
【例3-2】（2025·河北唐山）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】对求导得，，由题意曲线在处的切线的斜率为.
故选：A.
【例3-3】（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选：B.
【例3-4】（2024春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
【答案】[0，
【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，故选：D.
【一隅三反】
1.（24-25山西吕梁）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，所以，，
所以，.
故选：C.
2．（24-25安徽合肥）若曲线在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由导数几何意义得，
由导数定义可知：.
故选：C.
3（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为，函数，所以，
因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为
故选：B
4.（2024·新疆阿克苏）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由导数的几何意义可知，.故选：A
5（24-25山东济宁）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，设，则曲线在点处切线的斜率为，
则，又，切线斜率存在，故，则.故选：B
考向四 在型切线
【例4-1】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，因为，所以，所以切线方程为，
即，故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·广东·一模）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为在点处的切线方程斜率为，
曲线在点处的切线方程为，即得.
故答案为：.
2（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得.
3（2025·四川·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】已知函数，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即得.
故答案为：
考向五 过型切线
【例5】（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为，则，故切线方程为，
将代入可得，解得，
故切线方程为，即，故答案为：
【一隅三反】
1.（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ．
【答案】或
【解析】∵，∴.
设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，
∴过点的切线方程为，
即，又点在切线上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切线方程为或.
故答案为：或.
2（2024四川绵阳·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为点不在曲线上，设切点，且，则，①
又，则切线斜率为，②
由①②解得，，所以，切线的斜率为，
切线方程为，即.
故答案为：.
3.（2025四川雅安·期中）已知，则经过点的曲线的切线方程为 .
【答案】或
【解析】令该切线方程的切点为，
则，
，，
则有，
又该直线过点，故有，
化简得，即，
故或，
当时，有，即，
当时，有，即.
故答案为：或.
考向六 切线求参数
【例6-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，
所以，解得，
又，
所以，解得，所以.
故选：C.
【例6-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【解析】由题意得，直线，
故直线过定点，且曲线过点，
故直线与曲线（无拐点）相切于点.∵，
∴直线的斜率，∴直线的方程为，∴，
∴.故答案为：.
【一隅三反】
1.（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）若直线与曲线相切，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】设直线与曲线的切点为，故
由得，故，得，故.
故选：B
2（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法1：由得，当时，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
由，得，
所以，解得，
故选：D.
解法2：由得，当时，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
因为，所以，
令，得，
所以与曲线的切点为，
由切点在切线得，解得，
故选：D.
3（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【解析】设直线（）与函数相切，切点为：，
因为，所以切线斜率为：.
所以切线方程为：.
由切线过点，得：
所以，解得：或.
所以（舍去）或.故答案为：
考向七 公切线
【例7-1】（2024·山东）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 .
【答案】或(写出其中一条即可)
【解析】设公切线与相切于点，与相切于点，
，，则公切线斜率，
公切线方程为或，
整理得或，
所以，即，
，解得或，
公切线方程为或.
故答案为：或<(写出其中一条即可)
【例7-2】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两个函数求导分别为，
设，图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，所以，
设，，，
令，所以，
所以在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线和都相切的直线l的方程为 .
【答案】
【解析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，
又，，且，.
曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为.
故解得，，
故
故，故直线的方程为.
故答案为：.
2.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】由题意可得，
设直线与曲线的切点为，则
又切点在曲线上，所以，联立解得，即.
，设直线与曲线的切点为，
所以，又，
联立两式，解得.
故答案为：2
3.（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为
【答案】0或2
【解析】依题意得，设直线的方程为，即，
由直线和圆相切可得，，解得，
当时，和相切，
，设切点为，根据导数的几何意义，，
又切点同时在直线和曲线上，即，解得.
即时，；
当时，和相切，
，设切点为，根据导数的几何意义，，
又切点同时在直线和曲线上，即，解得.
即时，.
综上所述，或.
故选：A.
4.（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
【答案】-2
【解析】因为，，所以，，
则在点处的切线方程为，即；
在点处的切线方程为：，即，
由已知，由得，故，
故，解得，
所以，因此．
故答案为：．
5.（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ．
【答案】
【解析】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点，
由，得；由得.
则，
所以，所以，即.
设，则.
由；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以函数.
即的最大值为.
故答案为：
考向八 切线的数量
【例8】（2025·河南）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】设切点为，由，所以，得，
所以切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条.
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【解析】设切点为，
由可得，
则过坐标原点的切线的斜率，
故，即，
解得，故过坐标原点的切线共有1条．
故选：A．
2（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【解析】由，
当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线；
当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为：，该切线过点，
于是有
或（舍去），
综上所述：过点可作曲线的切线条数为，
故选：B
3．（2024北京）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条.
【答案】2
【解析】曲线方程为，点不在曲线上，
设切点为，则点的坐标满足，
由，得，
由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为点在切线上，所以
联立得，解得或，
故所求切线方程为或，
则过点与曲线相切的直线有2条.
故答案为：2.
考向九 已知切线的条数求参数
【例9-1】（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设切点坐标为，由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，而当时，恒有，
又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【例9-2】（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设切点，
因为，所以，所以点P处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即，
令，则与有两个不同的交点，
，
当时，恒成立，所以单调递增，不合题意；
当时，当时，，当时，，
所以，则，即，故选：B
【一隅三反】
1.（23-24辽宁本溪）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
2（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
【答案】
【解析】，则过的切线为，即.
由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根.
令，，由得或.
当或，，单调递增；当，，单调递减；
故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得极小值为.
要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是.
故答案为：.
3（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，设切点为，
则切线方程为，
将点代入切线方程得，，化简得，
设，则，
令，解得，令，解得或，
在，上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则，
故答案为：．
考向十 切线方程的应用
【例10-2】（2024·河南）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则 ，
又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小，
由曲线，得，所以切点为，
可求得点到直线的距离最小值为
故，故选：C
【例10-2】（23-24山东枣庄）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】直线的斜率，函数定义域为，
点是曲线上任意一点，设，由，
令，解得或（舍去），
，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，
所以曲线上点到直线的最小距离，
为点到直线的距离.
故选：C.
【例10-3】（2023·四川·校考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，当趋向正无穷时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示．
由题知函数恰有2个零点，即函数的图象与直线的图象恰有2个交点，
易知点为与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为，
所以当，直线与与曲线有2个交点；
当时，直线与曲线有2个交点．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：C．
【一隅三反】
1.（2025海南）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示

若使得取最小值，
则曲线在点处的切线与直线平行，
对函数求导得，令，可得，
又，解得．
故选：C
2（2024·陕西）设是曲线上的动点，且.则的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵，∴，
设点，则在点P处的切线斜率为，
∵，即：当且仅当PA垂直于切线时，取得最小值，
又∵，
∴，即：，①
∴，即：，②
∴由①②得：，解得：或，
又∵由①知，，
∴，即：，解得：，
∴.
故答案为：.
3.（2024·江苏淮安）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由得，
由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，
作出函数的图象，如图，
再作出直线，它始终过原点，
设直线与相切，切点为，
由知，切线斜率为，切线方程为，
把代入得，
所以切线斜率为，
设与相切，则，
所以，，解得舍去），
由图可得实数m的取值范围是或.
故答案为：
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