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3.1 导数几何意义及运算（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2（2025·湖南）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2025河南洛阳）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5（2025·江苏）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江西·一模）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
7.（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A． B． C． D．
8（24-25高三上·河北唐山·期末）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列的前50项和为（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（24-25 陕西西安 ）下列函数中，直线能作为其图像的切线的函数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河北保定·一模）已知曲线，则（ ）
A．直线与曲线相切
B．若直线与曲线相切，则
C．当曲线与曲线都相切时，
D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或
11.（24-25安徽合肥）直线与曲线相切于点，则（ ）
A． B． C． D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ．
13．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数图象的一条切线的方程为，则 ．
14．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 .
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2024-2025河北）已知函数．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
16（24-25重庆合川·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标.
17．（2025·江苏盐城·三模）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线.
(1)当时，求函数与在公共点处的切线方程；
(2)求的最小值：
18．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
19．（2025·湖北·二模）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到.
(1)求；
(2)记直线的斜率为.
（i）设的面积分别为，证明：；
（ii）若，求证：.
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3.1 导数几何意义及运算（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，令，则，故，
当时，，即的坐标为.
故选：B.
2（2025·湖南）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，所以a的取值范围是．故选：D．
3.（2025河南洛阳）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为，，则切线斜率为，
所以，所求切线方程为，
将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得，
因此，所求切线方程为.故选：C.
4.（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，则，
所以，，
则所求切线方程为，即.
故选：A
5（2025·江苏）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设与直线平行的直线与曲线切于，
由定义域为，得，则，
由，解得（舍去负值）．
，则点到直线的最小距离是．故选：C．
6．（2025·江西·一模）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为的图象在处的切线过原点，则，
即，即.
设，因为在上均单调递增，且函数值为正，
所以在上单调递增，且，，
所以.
故选：.
7.（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
设切点为，则切线方程，
而过，将代入方程得到，
令，，
令，，此时单调递减，
令，，此时单调递增，
故有极小值，有极大值，
则得到，故A正确.
故选：A.
8（24-25高三上·河北唐山·期末）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列的前50项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，当时，，
在点处的切线为：，
化简为：，
当代入中，
，即，
，
化简：，
则数列的前50项和为：，
故选：A．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（24-25 陕西西安 ）下列函数中，直线能作为其图像的切线的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】直线能作为下列函数图象的切线，即函数图象存在某点的导数值为，
选项A，，故，令，无解，故A不正确；
选项B，，故，令，得，故B正确；
选项C，，故，令，解得或，，故C正确；
选项D，，故，令，故，无解，故D不正确.
故选：BC.
10．（2025·河北保定·一模）已知曲线，则（ ）
A．直线与曲线相切
B．若直线与曲线相切，则
C．当曲线与曲线都相切时，
D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或
【答案】ACD
【解析】选项A：联立和2，得，
所以直线与曲线相切，故A正确；
选项B：由，得，由，得，故B错误；
选项C：由，得，令，得，
则，所以切线方程为，即，则，
令，得，则，
所以切线方程为，即，则，
所以，故C正确；
选项D：当时，，令，
则，设过原点的直线与曲线切于点，
则切线方程为，
将原点代入得，整理得，
则，解得或，故D正确.
故选：ACD.
11.（24-25安徽合肥）直线与曲线相切于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意，直线与曲线相切于点，
所以点代入直线，可得，
令，则，
，
，解得，
即，
把点代入得，
解得，故．
故选：ABC．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ．
【答案】
【解析】设切点的坐标为，由，，
所以过切点的切线方程为：，
把代入得：，即，
所以，则切点坐标为：即.
故答案为：
13．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数图象的一条切线的方程为，则 ．
【答案】
【解析】对函数求导得，
直线的斜率为，由，可得，
显然，解得，
若切点横坐标为，则，
则切点在直线上，
可得，解得；
若切点横坐标为，，
则切点在直线上，
可得，无解.
综上所述，.
故答案为：.
14．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 .
【答案】1
【解析】由，，有，，
在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
则有，得，
所以，可得.
故答案为：1.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2024-2025河北）已知函数．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，得，
因为，所以，解得．
（2）由上问得，所以，则，
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
16（24-25重庆合川·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标.
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）因为，求导得，故，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点坐标为，则曲线在点处的切线的斜率为，
故所求切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，
整理可得，即，解得或，
故所求切点的坐标为或.
17．（2025·江苏盐城·三模）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线.
(1)当时，求函数与在公共点处的切线方程；
(2)求的最小值：
【答案】(1)
(2)1
【解析】（1）当时，，
设为与的一个公共点，
因，
则得，
故切点为且，
所以与在公共点处的切线方程为
（2）设为与的一个公共点，
因，
则
由②得，即，将其代入①中得，，
即，
令，则，
则当时，在区间单调递增；
当时，在单调递减，
故，又因，故，当且仅当时取“”，
故的最小值为.
18．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由，得，
曲线在处的切线方程为，
根据题意令可得，，
由，
因为，所以，且由得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由上式得，，
则，①
两边乘以2可得：，②.
由①－②得，，
所以．
19．（2025·湖北·二模）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到.
(1)求；
(2)记直线的斜率为.
（i）设的面积分别为，证明：；
（ii）若，求证：.
【答案】(1)，.
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】（1）解：由题意在处的切线方程为；
令，可得，即.
由可知在处的切线方程为；
令可得，即；
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以.
（2）（i）设，由题意不同时为0，不妨令且；
.
由（1）可知；
则.
要证，即证，即证；
令，即证，再令，即证，即证.
构造函数，则，所以在上单调递增；
即.所以得证.即.
（ii）由（i）可知，，所以.
因为，得；
即，即.
得，因为，所以；
所以.
所以.即.
当时，有，即；
所以，从而.
【点睛】常见的放缩法技巧：
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