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3.1 导数几何意义及运算（精练题组版）
题组一 导数的运算
1.（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(a为常数) B．
C． D．
【答案】B
【解析】A：因为a为常数，所以，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误.
故选：B
2.（24-25安徽蚌埠）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．
B．已知的数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
【答案】BD
【解析】，故A错误．
对于B,因为，若则，即，故B正确．
对于C,因为，故C错误．
对于D,因为，故，故，D正确．
故选：BD
3.（2024山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)．
(5)(6)(7)(8)
【答案】(1)(2)；(3)；(4)．
(5)；(6)；(7)；(8).
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）
（5）.
（6），则.
（7），则.
（8）.
题组二 导数值
1.（2024·上海黄浦）已知函数，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
则，解得：，
所以，则.
故答案为：.
2.（2025·河北）已知函数 的导函数为，且满足，则
【答案】-1
【解析】由，可得，所以 ，则 .
3.（2024·江苏）已知，且，则的值等于
【答案】
【解析】，，解得
4.（2024海南）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则
【答案】3
【解析】因为函数的图像在点P处的切线方程是，
所以，所以。
题组三 导数定义及几何意义
1.（2024广东江门）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由直线与曲线切于点，知.由导数的定义知，.
故选：C
2.（24-25广东东莞）曲线上的任意一点处切线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立，
因此，曲线上的任意一点处切线的斜率的取值范围是.
故选：D.
3.（2025·四川）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为.
因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率.
而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点.
故选：D
4.（2025·广东）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（　　）
A．-21 B．-27 C．-24 D．-25
【答案】A
【解析】是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故答案为：A．
5（2024·福建福州）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以所以，解得，
所以由题意可知，，
所以.
故选：B.
6（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 .
【答案】
【解析】因为，所以，则
所以曲线在点处的切线斜率为，所以斜线的倾斜角为：.故答案为：
题组四 在型切线
1.（23-24内蒙古）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，则所求切线切点坐标为，
，有，则所求切线斜率为，
所求的切线方程为，即.
故选：B
2.（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的定义域为，且是奇函数，
则，即，解得，
于是，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线的方程为：，即.
故选：B
3.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
联立可解得，所以，所以.
所以曲线在点处的切线方程为，故所求的切线方程为.故选：C.
4（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得.
5.（2024江苏盐城·阶段练习）曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为，所以切线斜率为，切线方程为，
6.（2026安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为，得，则，
所以切线的方程为，即.
故答案为：.
7．（23-24高三上·山东·期中）已知函数，则在点处切线方程为 ．
【答案】
【解析】对求导可得，则，解得，
，，
切线方程为，整理得.故答案为：.
题组五 过型切线
1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，点不在曲线上，
设切点为，则，
解得：，得切点，则
切线方程为：，
故选：．
2（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】设过点的曲线的切线为： ，
有,
解得或,
代入可得或.
故选：
3.（2025·辽宁）过点作曲线的切线，则切点坐标为 .
【答案】/
【解析】由，得，，化简得，，
则，设切点为，显然不在曲线上，
则，解得，则切点坐标为.
故答案为：
4.（24-25广西）过点且与曲线相切的直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】设切点坐标为，则有．
因为，所以切线方程为，
将点的坐标代入，得，
所以，解得或．
当时，，故切线方程为；
当时，，故切线方程为．
所以所求直线的方程为或．
故答案为：或．
5.（2024湖南）曲线过点的切线方程为 .
【答案】或
【解析】，
因为点不在曲线上，
所以设切线的切点是，则切线的斜率，
又切线过点和，
所以，
所以，
化简得，
因为，所以或.
所以，或，
所以所求切线方程是或，
即或.
故答案为：或.
6.（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为，由得，
则切点处的切线，
因为切线过点，所以，解得，
所以切线方程为即.
故答案为：
题组六 切线求参数
1.（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意有，，又，即，
，，.故选：D.
2（2025·贵州安顺·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】设切点坐标为.
∵，∴，则，
由②得，，代入①得，，
整理得，解得，故.故选：A.
3.（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故选：A.
4.（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】设直线与曲线的切点为.
对求导，根据，可得.
因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知，
在切点处，即.
又因为切点既在直线上又在曲线上，
所以且，即.
将代入可得：，即.
将代入可得：
，
所以当，时，取得最小值为.
故选：A
5.（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 .
【答案】
【解析】函数，求导得，则，而，
因此曲线在处的切线方程为，
依题意，，所以.
故答案为：
6．（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则
【答案】1
【解析】直线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴切线的斜率，
，当时，，∴，
故答案为：1.
7.（2024·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则 ．
【答案】/
【解析】设直线与曲线相切于点，
求导可得，因此切线斜率，
又切线过原点，可得，化简可得，
令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，即可得，
因此可得，即可得.
故答案为：
8.（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为，由得，
所以切线的斜率为：，
所以曲线在处的切线方程为：，
即，
所以，所以，所以.
故答案为：.
9.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设切点为，由得，由题意，
解得，所以，即，
故，当且仅当时，等号成立，
故答案为：
10（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
题组七 公切线
1.（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】设公切线与函数,的图象分别切于点，
因为，所以，
所以公切线方程为，
即，
因为，所以，
所以公切线方程为，
即，
因为函数与的图象有且只有一条公切线，
所以，由 得,
代入，
则，
整理得，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以时，，
则当时，
函数与的图象有且只有一条公切线，
即，解得.
故选：B.
2（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
则切线方程分别为，，
所以
由①得，
代入②得．
令，
则，
所以当时，，当时，，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以，
又当时，，
所以的值域为，
所以的取值范围是．
故选：D．
3.（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设曲线切点为，的切点为，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理，在点处的切线方程为，
根据与有两条公切线，
则，所以，化简可得 具有两个交点，
转化为有两个解，构造函数，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
故在时有极大值即为最大值，故，
当时，，当时，，
故的取值范围为，
故选：A
4（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】设
由两曲线与分别求导得，所以，
故在处切线为：，整理得：，
在处切线为，整理得：，
所以，解得，
构造函数，，
令，解得：，故在递增，在递减，故，
∵正实数，∴的取值范围是，故选：ABC
5．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，
设直线与的切点为，则切线方程为，即，
又因为，所以解得，所以切线方程为，
因为，所以，
设直线与的切点为，所以①，
又因为切点在直线上，所以②，
由①和②可得，所以，解得.
故答案为：
6.．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】设曲线与的切点分别为，
易知两曲线的导函数分别为，，
由题意可知：，可得，
则，解得，
所以.
故答案为：.
7．（2025·陕西）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ．
【答案】
【解析】设曲线与的切点分别为，，
∵，，∴，，
∴，，
∴，，即，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，即，即，即．
故答案为：.
8．（2025·河北）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
【答案】3
【解析】设直线l与曲线相切于点，
由，得，因为l与曲线相切，
所以消去，得，解得．
设l与曲线相切于点，由，得，即，
因为是l与曲线的公共点，
所以消去，得，即，解得．
故答案为：3.
9.（24-25高三下·湖南永州）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设公切线为是与的切点，由，得，
设是与的切点，由，得，
所以的方程为，因为，整理得，
同理，因为，整理得，
依题意两条直线重合，可得，
消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，
当或时，；当时，，
所以有极小值为，有极大值为，
因为，，，所以，
当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图:
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，
故答案为：
10（23-24山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ．
【答案】/
【解析】设直线切曲线于点，切曲线于点，
由得，则直线的方程为，
即；
由可得，则直线的方程为，
即，
所以，，
消去可得，即，可得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
11.（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【答案】/
【解析】曲线在点处的切线与曲线相切于点，
，
∴曲线在点处的切线斜率，
曲线在点处的切线斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，
或，
，即，
，易知，，
.
故答案为：.
12（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 .
【答案】1
【解析】由，，有，，
在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
则有，得，
所以，可得.
故答案为：1.
题组八 切线的数量
1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】设切点，因为曲线，所以，
所以，所以，
所以或，
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
所以切线有3条.
故选：C.
2.（2024安徽合肥）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解法一 由，得．设切点坐标为，
则切线方程为，
把代入可得，即，
因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由，得，令，得．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，且，则点在曲线的下方，
数形结合可知，过点可作曲线的2条切线．
故选：B
3.（2025安徽）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为函数，所以，
设过点作曲线的切线，切点为，
则有，也即，
又因为，所以
令，，
当时，，函数单调递减，
当或时，，函数单调递增，
综上：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
所以函数有三个零点，分别在区间上，
也即方程有三个不同的根，
所以过点作曲线的切线，有三个不同的切点，
也即过点可作曲线的切线的条数最多为，故选：.
4.（2025山西）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】BC
【解析】因为，所以，
设切点， 在点处的导数为，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，所以，
①当时，可化为，由函数定义域知分母不为0，，
所以只能解得，因此过只能找到一条与曲线相切的直线；
②当时，可化为，
是关于的二次方程，，且两根之积为，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意能够找到两个满足条件.
综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条.故选：BC.
5（2025估计）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【解析】因为函数，所以
A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确；
B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故错误；
C. 因为在曲线上，所以点是切点，则，
所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
题组九 已知切线的条数求参数
1.（2025·云南）（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】设切点为，则，所以切线的斜率为，
则切线的方程为，因为点在切线上，所以，
即，令，则，
令，得或，当或时，；当时，，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点恰能作3条曲线的切线，所以直线与的图象有3个交点，
如图所示：

所以m的取值范围是，故选：BC
2.（2024辽宁）（多选）若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AD
【解析】设切点为，，
所以切线的斜率，
则此曲线在P处的切线方程为，
又此切线过坐标原点，所以，
由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，
故选：AD．
3.（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
设切点为，则切线方程，
而过，将代入方程得到，
令，，
令，，此时单调递减，
令，，此时单调递增，
故有极小值，有极大值，
则得到，故A正确.
故选：A.
4.（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意，设点为曲线的切点，
则切线方程为，整理得，
将点代入可得.
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又，，当时，方程有3个不同的实数根，
即当时，有3个不同的满足方程，
即过点可作三条直线与曲线相切.
故答案为：.
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设切点为：，
，
所以切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
即，
令，
则，
令，得或，
当或时，，当时，，
，
当时，则，且；
当时，则，
所以的图象如图所示：
因为过点仅可作曲线的两条切线，
所以与的图象有两个交点，
则 或.
故答案为：.
6.（2024福建福州·阶段练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为 ．
【答案】或
【解析】由得，设切点坐标为，
则切线斜率，
切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以，解得或，
故答案为：或
题组十 切线方程的应用
1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，切线的斜率为，则，得，
故，故切线的方程为：，即，
直线，即，
故两直线的距离为，
故选：B
2.（2024江西吉安·期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，由题意知，
则在点处的切线斜率为，
当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
由，得，则，
所以点到直线的距离.
所以动点到直线的距离的最小值为.
故选：A
3（2025·甘肃白银·模拟预测）已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，令，得，
又，可得点，
所以点到直线的距离最短，
为.
故选：A.
4（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为，所以，
令，得到，
化简得，解得，
代入回原函数得到，
而，故切点为，
而，，
设曲线在处的切线斜率为，
由导数的几何意义得，
故切线方程为，化简得，
令，得到，所以与轴交点为，
令，得到，所以与轴交点为，
且设三角形面积为，故，故A正确.
故选：A
5.（2025·山东聊城·模拟预测）已知直线与曲线有三个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则
令得，∴时，单调递减；
令得，∴时，单调递增,
又，
故，则，若，则，
且,
因为，所以点在曲线上，
所以的图像如图所示
因为直线过定点，
由题意可知，过点的直线与曲线有三个交点，
因为过点的曲线的切线的斜率为：，
即当时，直线与曲线相切；
因，，
，，，
所以函数在时是凸的，在时是凸的，在函数可能有一个拐点.因此，函数 在 左右由凸变凹.
根据图像可知，
当时，直线与曲线有两个公共点；
当时，直线与曲线只有一个公共点；
当时，直线与曲线有三个公共点.
故选：A.
6（2024·甘肃·模拟预测）已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题意得的最小值为曲线上点到直线距离的最小值，
此时点就是曲线与直线相切的切点，
对求导有，由可得，即，
故.
故答案为：.
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3.1 导数几何意义及运算（精练题组版）
题组一 导数的运算
1.（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(a为常数) B．
C． D．
2.（24-25安徽蚌埠）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．
B．已知的数，若，则
C．
D．设函数的导函数为，且，则
3.（2024山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)．
(5)(6)(7)(8)
题组二 导数值
1.（2024·上海黄浦）已知函数，则 ．
2.（2025·河北）已知函数 的导函数为，且满足，则
3.（2024·江苏）已知，且，则的值等于
4.（2024海南）如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则
题组三 导数定义及几何意义
1.（2024广东江门）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2.（24-25广东东莞）曲线上的任意一点处切线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2025·四川）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·广东）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（　　）
A．-21 B．-27 C．-24 D．-25
5（2024·福建福州）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则曲线在点处切线的倾斜角是 .
题组四 在型切线
1.（23-24内蒙古）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
4（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
5.（2024江苏盐城·阶段练习）曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为 ．
6.（2026安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线方程为 .
7．（23-24高三上·山东·期中）已知函数，则在点处切线方程为 ．
题组五 过型切线
1．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3.（2025·辽宁）过点作曲线的切线，则切点坐标为 .
4.（24-25广西）过点且与曲线相切的直线的方程为 ．
5.（2024湖南）曲线过点的切线方程为 .
6.（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为 .
题组六 切线求参数
1.（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（ ）
A．1 B． C． D．
2（2025·贵州安顺·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3.（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5.（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 .
6．（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则
7.（2024·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则 ．
8.（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 .
9.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值为 .
10（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 .
题组七 公切线
1.（2024·海南·模拟预测）若函数与的图象有且只有一条公切线，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4（2024·四川绵阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 .
6.．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
7．（2025·陕西）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ．
8．（2025·河北）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
9.（24-25高三下·湖南永州）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 .
10（23-24山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ．
11.（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
12（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 .
题组八 切线的数量
1．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2.（2024安徽合肥）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2025安徽）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（2025山西）已知曲线及点，则过点且与曲线相切的直线可能有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5（2025估计）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
题组九 已知切线的条数求参数
1.（2025·云南）（多选）已知函数，若过点恰能作3条曲线的切线，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024辽宁）（多选）若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
3.（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A． B． C． D．
4.（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 .
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 .
6.（2024福建福州·阶段练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为 ．
题组十 切线方程的应用
1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024江西吉安·期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3（2025·甘肃白银·模拟预测）已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
4（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
5.（2025·山东聊城·模拟预测）已知直线与曲线有三个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6（2024·甘肃·模拟预测）已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
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