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3.2 利用导数研究函数的单调性（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（24-25山东泰安）函数的单调递减区间是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】C
【解析】定义域为，，则，
则得；得，则的单调递增区间为，单调递减区间为
故选：C
2．（2025山东临沂）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
当，解得：，由条件可知，所以 ，解得：.
故选：D
3.（2025云南）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立．
，而在区间上单调递减，．
选项中只有是的必要不充分条件. 选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D
4.（2024湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，所以，即，，
令，得或（舍去），因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，综上，，故选：A
5．（2025陕西渭南·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A
6．（2025安徽）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
7．（2025重庆）已知为定义在上的奇函数，，且当时，有，则使成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令， 当时，，
所以，函数在上为增函数，且，
故当时，，得，
当时，，得，
又为定义在上的奇函数，
故由可解得或，
故选：B
8．（24-25河南）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为.
因为，所以函数为奇函数.
，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
又因为，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增.
由，得，即，
所以，解得.故选：D.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25河北保定）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由题意知与轴有三个交点，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
则在区间上单调递减，
在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．
故选：AC．
10（24-25山东聊城）函数，则（ ）
A． B．的单调递增区间为
C．最小值为 D．有两个零点
【答案】BCD
【解析】已知，其定义域为.对求导可得：
，所以A选项错误.
令，因为（），所以，解得.
令，因为（），所以，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，B选项正确.
前面知在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值.将代入可得：
，C选项正确.
因为的最小值为，当趋近于时，趋近于，趋近于，
趋近于；当趋近于时，趋近于，趋近于，
趋近于.
又因为在上单调递减，在上单调递增，结合图象，
所以与轴有两个交点，即有两个零点，D选项正确.
故选：BCD.

11．（24-25山西吕梁）关于函数，，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增 B．当时，恒成立
C．当时，在上单调递增 D．当恒成立，则
【答案】AB
【解析】对于A选项，当时，，则，解得，
故当时，函数的增区间为，A错；
对于B选项，当时，由可得，解得，B错；
对于C选项，当时，则对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，C对；
对于D选项，当时，函数在上为增函数，，
此时不等式不恒成立；
当时，恒成立；
当时，由可得，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，可得，解得.
综上所述，当恒成立，，D正确.
故选：AB.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25湖北武汉）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为
【答案】
【解析】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即．
故答案为：．
13．（24-25江苏）已知函数，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，定义域为，
，
所以为奇函数，
又，
当时，令，
则有，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
14（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为
【答案】
【解析】令，
则，
所以函数关于对称，
由，得，
即，
因为函数关于对称，所以，
则，
，
因为，
当且仅当，即时取等号，
又，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25河北）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）由题可知在上恒成立，所以．
因为，所以，
则，所以的取值范围为．
（2）由，可得．
令，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
16．（24-25河北邯郸·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若在上的最小值为10，求a的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【解析】（1）的定义域为．
当时，在上单调递增．
当时，令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增．
综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时，由（1）知，在上单调递增，
所以，舍去．
当时，在上单调递增，所以，舍去．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，舍去．
当时，在上单调递减，所以，
解得，符合题意．
综上，．
17．（24-25新疆）已知函数.
(1)试讨论的单调性；
(2)当时，求的单调区间.
【答案】(1)答案见解析
(2)单调增区间
【解析】（1）由可得
，，
令，解得或，
①当时，在小于0，即，单调递减，
在大于0，即，单调递增，
②当时，在，大于0，即，单调递增，
在小于0，即，单调递减，
③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立，
所以在单调递增，
④当时，在，大于0，即，单调递增，
在小于0，即，单调递减，
综上所述，当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递减，在，单调递增，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，在，单调递增.
（2）当时， ，，，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又因为，所以当时恒成立，即恒成立，
所以在上单调递增，
所以的单调增区间为.
18．（2025·广东·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)讨论函数在上的单调性.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
(3)减函数
【解析】（1）由于定义域为，
故曲线在点处的切线方程为：，即.
（2）令，则，令，则，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
故函数的极小值为，无极大值.
（3）由于函数，令，
则在区间上单调递减，且，故，使，即，
当时，，当时，，
故在上递增，在上递减.
故，当且仅当，
即时，等号成立，显然，等号不成立，故，
故在上是减函数.
19（2025·北京平谷·一模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
【答案】(1)
(2)的单调减区间为，无增区间.
(3)能，
【解析】（1）当时，则，
，
，
所以在点处的切线方程为.
（2）当时，函数的定义域是，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值，
又，故恒成立，
所以的单调减区间为，无增区间.
（3）由题意知，因为，
所以，即有，
令
则，
故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点，
即方程有唯一实根0，所以.
所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时.
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3.2 利用导数研究函数的单调性（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（24-25山东泰安）函数的单调递减区间是（ ）
A．， B． C． D．
2．（2025山东临沂）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2025云南）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4.（2024湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025陕西渭南·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025安徽）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025重庆）已知为定义在上的奇函数，，且当时，有，则使成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25河南）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25河北保定）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
10（24-25山东聊城）函数，则（ ）
A． B．的单调递增区间为
C．最小值为 D．有两个零点
11．（24-25山西吕梁）关于函数，，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增 B．当时，恒成立
C．当时，在上单调递增 D．当恒成立，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25湖北武汉）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为
13．（24-25江苏）已知函数，且，则实数的取值范围是 .
14（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25河北）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
16．（24-25河北邯郸·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若在上的最小值为10，求a的值．
17．（24-25新疆）已知函数.
(1)试讨论的单调性；
(2)当时，求的单调区间.
18．（2025·广东·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)讨论函数在上的单调性.
19（2025·北京平谷·一模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
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