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3.2 利用导数研究函数的单调性（精练题组版）
题组一 无参函数的单调区间
1.（2025哈尔滨）函数的单调递增区间是
2.（24-25江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 .
3.（23-24天津）已知函数，函数的单调增区间为 .
4.（24-25山东菏泽）函数的单调增区间为
题组二 函数与导数图像关系
1.（24-25河北沧州）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2.（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·黑龙江）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ）
A．B．C．D．
4.（24-25陕西宝鸡·阶段练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B． C． D．
5（2024·山西）函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．的符号不确定
6（2025·河南新乡）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递增
B．
C．曲线在处的切线的斜率为0
D．最多有3个零点
7.（23-24江苏无锡）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递减 D．在上单调递增
8.（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
题组三 无参函数在有参区间的单调性
1．（2025福建）已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025河北）若函数在区间上递减，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（23-24北京·期中）若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025黑龙江）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2025·河南）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题组四 有参函数在无参区间的单调性
1.（24-25海南已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.．（24-25福建）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25安徽合肥·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24山东菏泽·期中）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24海南·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2025山东淄博·期中）已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（ ）
A． B． C． D．e
7.（24-25湖北孝感）函数的单调递减区间为，则（ ）
A． B．1 C． D．
8.（24-25陕西榆林）已知是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.（23-24重庆渝北）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11.（2025·四川泸州）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
12（2024上海·阶段练习）若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是
13（2025江苏）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 .
14.（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
15.（24-25海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是
题组五 函数在区间不单调
1.（23-24江苏南通）函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 .
（24-25高三上·福建·阶段练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为
3.（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）若函数在区间上不单调，则k的取值范围是
4.（2025河南）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为 ．
5.（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是
6.（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是
题组六 单调性应用一---比较大小
1.（2025云南省）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2（2025·河南）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3（24-25湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25安徽·期末）已知函数，记则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数，设，则（ ）
A． B．
C． D．
7（2024·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9（2025高三下·全国·专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题组七 单调性的应用二---解不等式
1.（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25江苏）函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3.（24-25河南）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6.（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则的解集为 .
10（24-25江西宜春）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．
题组八 导函数推导原函数
1（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25·陕西榆林·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三下·全国·专题练习）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·山东·一模）设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7（24-25 河北邯郸·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11（24-25 浙江丽水·期末）已知的定义域是，且，则不等式的解是 .
12（24-25 湖南长沙·期末）已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为 .
题组九 含参函数单调性的分类讨论
1.（24-25湖南）已知函数，讨论的单调区间．
2.（24-25河北）已知函数，讨论的单调性；
3.（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数，讨论函数的单调性；
4.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
5.（2025·湖北·二模）已知函数，当时，讨论的单调性；
6．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数，讨论函数的单调性；
7.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知
(1)当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程；
(2)讨论函数的导函数的单调性.
8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；
(2)讨论的单调性.
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性；
10（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.
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3.2 利用导数研究函数的单调性（精练题组版）
题组一 无参函数的单调区间
1.（2025哈尔滨）函数的单调递增区间是
【答案】
【解析】由题意得，令，解得或，故其单调增区间为，
2.（24-25江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】由题意，由得，所以单调递增是.
故答案为：
3.（23-24天津）已知函数，函数的单调增区间为 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，
则，
由，可得，故函数的单调增区间为.
故答案为：.
4.（24-25山东菏泽）函数的单调增区间为
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，令，即，
解得：，所以增区间为.
题组二 函数与导数图像关系
1.（24-25河北沧州）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递减，可排除AC；
当时，，所以在上单调递增，可排除B；
当时，，所以在上单调递减，D均符合，故D正确.
故选：D.
2.（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立，
排除A、D两个选项，对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意；
选项C不符合题意；故选：B.
3．（2025·黑龙江）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，
∴，故在区间上为减函数，排除AB；
当时，，∴，
故在区间上为减函数，排除D.
故选：C.
4.（24-25陕西宝鸡·阶段练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数.
故选：C
5（2024·山西）函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．的符号不确定
【答案】B
【解析】
如图所示，在上单调递减，所以故选：B
6（2025·河南新乡）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递增
B．
C．曲线在处的切线的斜率为0
D．最多有3个零点
【答案】D
【解析】设，且．由图可得，当时，，
当时，．所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
故最多有3个零点．排除ABC.故选：D
7.（23-24江苏无锡）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【解析】结合图象可得，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.故选：C
8.（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
【答案】B
【解析】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象，
，
当时，，故，在上单调递减，
当时，，故，在上单调递增，
ACD错误，B正确，故选：B
题组三 无参函数在有参区间的单调性
1．（2025福建）已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间的子区间，所以，求解不等式组可得：，
解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.故选：D
2.（2025河北）若函数在区间上递减，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为,，
令,解得或,即函数的单调递减区间为
因为在区间上单调递减，所以.故选：A.
3．（23-24北京·期中）若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
令可得，令可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为函数在上单调，
所以，所以.
故实数的取值范围是：.
故选：A.
4．（2025黑龙江）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数，.则，
因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，
所以在区间上恒成立，所以，解得，故选：A.
5.（2025·河南）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为的定义域为，，
由，得，解得，所以的递增区间为．
由于在区间上单调递增，则，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是．
故选：A.
题组四 有参函数在无参区间的单调性
1.（24-25海南已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递减，
所以恒成立，
即恒成立，
而（当且仅当时，等号成立），
所以只需，解得.经检验，当时，仅有使，符合题意.
故选：B.
2.．（24-25福建）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．因为函数在区间上是增函数，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立．
设，则．
当时，恒成立，所以在上单调递减，
故，所以．
故选：D
3.（24-25安徽合肥·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数，所以，
又函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上，，则.
当时，不恒为零，也符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：C
4.（23-24山东菏泽·期中）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，求导得，
由在区间上单调递增，得，，
而对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，因此，
所以实数k的取值范围为.
故选：B
5.（23-24海南·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，
所以或，解得或综上可得，
故选：A
6.（2025山东淄博·期中）已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（ ）
A． B． C． D．e
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，
综上，所以ABD错误，C正确.
故选：C.
7.（24-25湖北孝感）函数的单调递减区间为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】，
因为的单调递减区间为，而的定义域为，
所以的一个极值点为1，
所以，解得．
所以，，
令，，解得，
所以的单调递减区间为，符合题意，
综上，
故选：B．
8.（24-25陕西榆林）已知是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，
因为是上的增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由于，所以，即
故选：A.
9.（23-24重庆渝北）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，在区间上能成立，
即在区间上能成立，
设，则，故只需求在上的最小值，
而在时，取得最小值，故得.
故选：B.
10（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
11.（2025·四川泸州）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】函数，则 ，
因为在上存在单调递增区间，所以在上有解，
所以当时，有解，
令，而当时，令 ，
即为，
此时(此时)，所以，
故答案为：.
12（2024上海·阶段练习）若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是
【答案】
【解析】，
函数在上存在严格减区间，则在区间上有解．
即在区间上有解，
令，因为在区间上严格递减，
所以，故有．
故答案为：.
13（2025江苏）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 .
【答案】
【解析】，
因为函数存在单调递减区间，
所以存在，使得小于零，
所以导函数的判别式，解得或，
所以实数的取值范围为是，
故答案为：.
14.（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】由题意可知：，
因为函数在上存在单调递减区间，
则在上有解，可得，
所以．
令，则，
显然，可知函数单调递增，则，
即，所以实数的取值范围是.
15.（24-25海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为，
而时，函数存在单调减区间，
所以在有解，
即有解，
因为，所以，即在有解，
又因为，所以，所以．
故答案为： .
题组五 函数在区间不单调
1.（23-24江苏南通）函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数求导，
因为在区间上不单调，所以在区间内有零点.
又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根.
，因为，，
所以.
故答案为：
（24-25高三上·福建·阶段练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为
【答案】
【解析】由题可得，若函数在上不单调，则时，，
故，则．
3.（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）若函数在区间上不单调，则k的取值范围是
【答案】
【解析】函数，求导得，
由函数在区间上不单调，得在上有变号零点，
由，得，
则，令，
于是，即有，
令，函数在上单调递减，函数值从减小到，
在上单调递增，函数值从增大到，
由在上有变号零点，得直线与函数的图象有交点，
且当有两个交点时，两个交点不重合，因此，解得，
所以k的取值范围是.
4.（2025河南）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为 ．
【答案】或
【解析】函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得，由，得，
函数在上递减，在上递增，即不是单调函数，因此；
当时，由，得，由，得或，
在上递减，在上递增，不是单调函数，因此；
当时，恒成立，在上递增，不符合题意；
当时，由，得，由，得或，
在上递减，在上递增，不是单调函数，因此，
所以a的取值范围为或.
故答案为：或
5.（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】函数，求导得，
依题意，在上有变号零点，由，得，
函数在上单调递减，；在上单调递增，，
所以实数的取值范围是.
6.（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是
【答案】
【解析】，
因为函数在上不单调，所以函数有零点，所以方程 有根，
所以函数与 有交点（且交点非最值点），
因为函数的值域为，所以 .
题组六 单调性应用一---比较大小
1.（2025云南省）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，则.
令得，所以函数在区间单调递减.
因为，所以，
即，所以．
故选：C
2（2025·河南）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
3（24-25湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，（），则.
令得，所以函数在区间单调递增.
因为，所以，
即，即，所以．
故选：B
4（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数定义域为R，且，
故函数为偶函数，
又在上，即在上单调递增，
因为，且，
所以，即.
故选：D
5.（24-25安徽·期末）已知函数，记则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数定义域为，，
∴为奇函数，故.
由题意得，.
∵，当且仅当时等号成立，，
∴，即在上单调递增.
∵，
∴.
故选：B.
6．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
，
故为偶函数，
当时，，
令，
则，当且仅当，时等号成立，
所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，
因为函数为减函数，所以，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，
所以，
，
故.
7（2024·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，则，
所以关于对称，所以，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
当时，由得，，则，
由上可得，又在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：A．
8．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，得当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为.
当时，，，所以在上单调递减.
又，，，
所以，所以.
故选：A.
9（2025高三下·全国·专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
构造函数，
令，则在上单调递减，
，
故，所以在上单调递减，
，
，
构造函数，
令，则在上单调递减，
，
故，所以在上单调递减，
，
故．故选：C.
题组七 单调性的应用二---解不等式
1.（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∴在上为增函数，
由得，，解得，故的取值范围是.故选：B.
2.（24-25江苏）函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，其定义域为：，
由，故是奇函数，
由，得，
，故在上单调递减，
所以，故或，
故选：D
3.（24-25河南）已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为.
因为，
所以函数为奇函数.
，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
又因为，所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增.
由，得，即，
所以，解得.
故选：D.
4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，，
函数是奇函数，求导得，
函数在R上单调递增，由，得，
即，则，因此，解得，
所以所求的取值范围是.
故选：C
5（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，，
函数是偶函数，求导得，令，
求导得，函数在上递增，
当时，，函数在上单调递增，
不等式，
则，令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
当时，，令函数，求导得，
函数在上递增，当时，，成立，
当时，，不成立，
所以不等式的解集为.
故选：C
6.（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记，则
所以所求解不等式为，
，是奇函数
在上是增函数
由得
，化简得，
所以的取值范围是，
故选：B.
7．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】】令，定义域为R，
，
故为奇函数，即，
，
故在R上单调递增，
，
故，
即，
所以，，
解得或.
故选：B
8（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知，当且仅当时等号成立，
所以是上的增函数，
又，
所以不等式化为，
所以，解得或．
故选：D．
9（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则的解集为 .
【答案】
【解析】的定义域为R，
，
①当时，恒成立，故单调递增，则不等式恒成立，满足题意；
②当时，，令，可得或，令，可得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
又，则，所以要使不等式成立，
只需满足，且，即，且，
③当时，，令，可得或，令，可得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
因为，
又，
所以要使不等式成立，需满足，再结合，解得
综上所述，不等式的解集为：
故答案为：
10（24-25江西宜春）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】/
【解析】设，则其定义域为，且
，故为奇函数.
而，且仅在时，所以为增函数.
同时，不等式可化为，即.
而是奇函数，故原不等式又等价于，
因为是增函数，所以等价于.
当时，这可化为，故条件即为对任意成立.
①一方面，在条件中取，即可得到，从而一定有；
②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有.
首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于.
设，则，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，所以对均有.
这就意味着，所以
.
从而由即可得到.
即当时，不等式对恒成立，
综合①②两方面，可知的最大值为.
故答案为：.
题组八 导函数推导原函数
1（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
又上，，则，
即函数在上单调递减，
又是定义在R上的奇函数，则函数为R上的奇函数，
故在R上单调递减，又，
即，可得，解得．
故选：B.
2（24-25·陕西榆林·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，因为，所以，所以在上单调递减；
又，所以，因此不等式可化为，
所以，解得，即不等式的解集为.故选：A
3．（2025高三下·全国·专题练习）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
所以，解得，所以不等式的解集为．
故选：A.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意知，即，构造函数，
可得，因为，所以，
所以在上单调递增，
则，两边同乘，即．
故选:B
5．（2025·山东·一模）设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，，
故(为常数)，
又，
故，
所以，定义域为，，
所以在区间上单调递减，
因为，所以，
又由，
故.
故选：A.
6．（24-25河南郑州·阶段练习）已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令函数，由，得，
又，求导得，
函数在R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选：A
7（24-25 河北邯郸·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知在上单调递减．因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，
所以，
所以当或时，；当或时，．
不等式，即或，
解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为．
故选：D
8．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
则当时，，即在上单调递减，
由，则，又，
即不等式等价于，
即，即有，解得.
故选：D.
9（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，
又因为，即，
且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线，
若，即，
可得，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
10（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
11（24-25 浙江丽水·期末）已知的定义域是，且，则不等式的解是 .
【答案】
【解析】依题意，不等式，
令函数，求导得，由，
得，函数在上单调递增，原不等式为，
因此，解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
12（24-25 湖南长沙·期末）已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，故，
又，所以，即，
所以是定义在上的奇函数；
又因为，
所以，即，
两式相加，再整理得：，所以由得，即，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以在上，由，解得；
又当时，，，即，故，即，
综上：的解集为，故的解集为.
故答案为：
题组九 含参函数单调性的分类讨论
1.（24-25湖南）已知函数，讨论的单调区间．
【答案】答案见解析
【解析】．
①当时，，所以在上单调递增．
②当时，令，得．
当或时，；
当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减．
综上可知，当时，的增区间为，没有减区间．
当时，的增区间为；减区间为．
2.（24-25河北）已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为R，.
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
3.（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
4.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
【答案】(1)；(2)答案见解析；
【解析】（1）当时，，
，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2）由题意得的定义域为，
，
①当时，，
所以在上单调递增．
②当时，，
由，解得，
不妨设，则由韦达定理有，
又，
，即，
故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
③当时，，
可得，所以在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减．
5.（2025·湖北·二模）已知函数，当时，讨论的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】的定义域为，则，
因，由，解得，
①当时，恒成立，
所以的无递增区间，递减区间为；
②当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
③当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
6．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数，讨论函数的单调性；
【解析】函数的定义域为，
，
①当时，令，得，令，得，
所以的增区间为，减区间为；
②当时，令，得或，令，得，
所以的增区间为、，减区间为；
③当时，则，所以，函数的增区间为，无减区间；
④当时，令，得或，令，得，
所以的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，的增区间为，减区间为；
当时，的增区间为、，减区间为；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为、，减区间为.
7.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知
(1)当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程；
(2)讨论函数的导函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，，
设切点为，切线方程为，
因为切线过原点，所以，即，解得；
所以，因此；
即切线方程为；
（2）易知，
令，则，
①当时，，则在R上递减；
②当时，令，可得；
同理的解是，
所以在区间上单调递增，在上单调递减；
③当时令，即；同理的解是，
所以在区间上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上递减；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增．
8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1），
因为，，
所以的图象在处的切线方程为，
将代入得，解得；
（2），
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，，所以在上单调递增.
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为，的定义域为，
所以．
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即．
所以当时，，单调递增，
当时，若，则，单调递减，若，则，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
10（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由题知，
当时，，单调递增.
当时，若，即，则，故在上单调递增；
若，即，则，故在上单调递减,
综上，当时，在上单调递增；
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增.
由（1）可知，当时，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.
故，且根据指数函数与一次函数的增长速度可知，当时，，当时，.
由（1）知，若有两个零点，
则，
即.
令，
则在上单调递减，
且，则当时，；
当时，.
所以实数的取值范围为.
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