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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精讲）
考向一 无参函数的极值（点）
【例1-1】（2025陕西）设函数，则
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
【例1-2】（23-24湖北）函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（24-25湖南）函数的极值为（ ）
A． B． C． D．3
【一隅三反】
1.（2024云南）函数的极值点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数．若，求函数的极值．
3.（24-25宁夏）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
4（2025高三·全国·专题练习）已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值.
考向二 导函数图像与极值关系
【例2-1】（2024陕西）已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
【例2-2】（2025·辽宁）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点 D．2为的极大值点
【一隅三反】
1．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．是的极大值点
C．当时， D．在区间上单调递减
2．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．在处取得极大值 B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减
3．（2025北京）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
考向三 已知极值（点）求参数
【例3-1】（24-25高三下·河北保定）已知的一个极值点为2，则实数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．6 B．12 C．24 D．12或24
【例3-3】（24-25湖南）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.（24-25高三上·河北·期末）若函数的极小值点为，则（ ）
A．1 B． C． D．
2.（2025·江西·一模）已知是函数的极值点，则（ ）
A．8 B．4 C． D．
3.（2025湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
4（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（ ）
A． B．2 C．2或0 D．0
5.（24-25河南商丘）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
6.（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
考向四 已知极值点的个数求参
【例4-1】（24-25高三下·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2025·广东汕头·一模）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（2025·广东湛江·一模）已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【例4-4】（2025·河北邯郸·一模）已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三下·浙江）若函数在上有且仅有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
4（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向五 无参函数求最值
【例5】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ．
2．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）函数的最大值是 ．
3．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）函数在区间上的最大值为
考向六 已知最值求参数
【例6-1】（2025上海）若函数在区间上的最大值是4，则m的值为( )
A．3 B．1 C．2 D．
【例6-2】（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【例6-3】（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024山东烟台·期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．
2（23-24四川）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3.（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向七 导数的综合运用
【例7-1】（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为 ．
【例7-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为 ．
【一隅三反】
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值.
2.（2025广东佛山）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)求在上的最小值.
3.（2024吉林）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求在区间的最小值.
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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精讲）
考向一 无参函数的极值（点）
【例1-1】（2025陕西）设函数，则
A．为的极大值点 B．为的极小值点
C．为的极大值点 D．为的极小值点
【答案】D
【解析】因为，所以．
又，所以为的极小值点．
【例1-2】（23-24湖北）函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
又，
令，则或，所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故选：D．
【例1-3】（24-25湖南）函数的极值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】由题知的定义域为，且.
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值，
故选：A
【一隅三反】
1.（2024云南）函数的极值点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】，
由，即，解得：．由，得，由，得，
函数在处取得极大值，故选：A．
2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数．若，求函数的极值．
【答案】极小值为，极大值为
【解析】.
所以或时，，时，，
则在上递减，在递增，
所以的极小值为，极大值为.
3.（24-25宁夏）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
【答案】(1)(2)极小值为，无极大值
【解析】（1），
，故的图象在点处的切线为，即；
（2）的定义域为，由（1）知，
令得，令得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，极小值为，无极大值；
4（2025高三·全国·专题练习）已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值.
【答案】(1)(2)极大值，的极小值
【解析】（1）由题知，
所以.由题意可知，解得.
（2）由(1)知，，
令，解得，
易得当时，0；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
即的极大值，的极小值.
考向二 导函数图像与极值关系
【例2-1】（2024陕西）已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
【答案】D
【解析】由导函数图像可知，当或时，，
当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故选项A，B错误；
在处取得极大值，且，故C错误，D正确；
故选：D.
【例2-2】（2025·辽宁）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数
C．为的极小值点 D．2为的极大值点
【答案】D
【解析】由导函数的图像可知，
在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，则选项不正确；
在区间上，，则是增函数，则选项不正确；
由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项不正确；
由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项正确；
故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．是的极大值点
C．当时， D．在区间上单调递减
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确；
时，，函数单调递增，，，函数单调递减，
所以是的极大值点，B正确；
在区间上单调递减，D正确；
当时，函数单调递增，可能，所以C不正确；
故选：C．
2．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．在处取得极大值 B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【解析】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.
故选：C
3．（2025北京）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a因为，，且当时，；当c当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
考向三 已知极值（点）求参数
【例3-1】（24-25高三下·河北保定）已知的一个极值点为2，则实数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】，令0，得或，
又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意.故选：B.
【例3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．6 B．12 C．24 D．12或24
【答案】C
【解析】由题意知，，又在处取得极值0，
则，解得或，
当时，，
函数在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
令或，，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，符合题意，
所以，，则.故选：C.
【例3-3】（24-25湖南）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
又是函数的极小值点，所以，解得或.
当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去.
当时，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
是的极小值点，所以，.
由以上分析知，当时，取得极大值，且.故选：B.
【一隅三反】
1.（24-25高三上·河北·期末）若函数的极小值点为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】，依题意，所以或，
当时，，为极大值点，
当时，，符合题意，故，
故选：D.
2.（2025·江西·一模）已知是函数的极值点，则（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】由题设，则，可得，
此时且，
所以时，时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，符合题意.
故.
故选：D
3.（2025湖北·阶段练习）若在处取得极大值，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【解析】因为，则
又在处取得极大值，
，解得或，
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极小值，与题意不符；
当，时，，
当时，，当时，，
则在处取得极大值，符合题意，则，
故选：C.
4（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（ ）
A． B．2 C．2或0 D．0
【答案】D
【解析】由，则，得或2，
时，，在R上单调递增，不满足；
时，，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设，
所以.
故选：D
5.（24-25河南商丘）已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题得，因为函数在处取得极小值，
所以或，
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值，符合题意，
所以函数在处取得极大值为；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上，的极大值为4.
故选：A
6.（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，
则，
令，解得或，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，解得，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，不符合题意，
当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，.
考向四 已知极值点的个数求参
【例4-1】（24-25高三下·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的导数为，
函数不存在极值点，在R上恒成立，即恒成立，
，解得，即实数a的取值范围是故选：B.
【例4-2】（2025·广东汕头·一模）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以.
故选：B
【例4-3】（2025·广东湛江·一模）已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，由在区间上存在唯一个极大值点，
得，解得，所以m的最大值为.故选：A
【例4-4】（2025·河北邯郸·一模）已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
因为函数恰有一个极值点，所以有一个变号实数根，
即有一个变号的根，即与一个交点，且在该交点前后两函数的大小关系发生变化，
令，则，
令，函数单调递增，解得：，
令，函数单调递减，解得：，则， 有一根，即，
当，时都有当时，，所以.综上所述，的取值范围是
故选：C
【一隅三反】
1.（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，且函数有两个极值点，所以有两个不等实根，
所以，解得或，故选：D
2．（24-25高三下·浙江）若函数在上有且仅有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，若在上有且仅有两个极值点，
则由的图象可得，解得.故选：C.
3.（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，可知在内有2个变号零点，
由可得，可知：与在内有2个交点，
又因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为.故选：B.
4（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，故，
因为函数在上无极值，所以在R上恒成立，
当时，，设，则，
当时，得，当时，得，则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，当时，，则.综上，.故选：D.
考向五 无参函数求最值
【例5】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以函数的导函数为，
令，可得或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，。函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，
所以在区间上的最大值为.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ．
【答案】
【解析】，
令，解得：，（舍），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则，又因为，，
则函数在上的最小值为.
故答案为：.
2．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）函数的最大值是 ．
【答案】
【解析】由求导可得：，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
由于当时，，当时，，
所以可知函数最大值为，
故答案为：.
3．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）函数在区间上的最大值为
【答案】
【解析】，
令，解得：，令，解得： ，
∴函数在上递增，在上递减，∴的极大值为 ，
又，，故所求最大值为．
考向六 已知最值求参数
【例6-1】（2025上海）若函数在区间上的最大值是4，则m的值为( )
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】，令，解得或，
当时，；当时，或，
故在和上单调递增，在上单调递减，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又，，则，
所以在区间上的最大值为，解得．
故选：B．
【例6-2】（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
因为函数，在上单调递增，
所以题中问题等价于即解得，
故选：D.
【例6-3】（2025·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，则，
当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减，
则函数在处取得极大值，且极大值为，
因为函数函数有最大值，则，解得，
因此，实数的最大值为.
故选：.
【一隅三反】
1．（2024山东烟台·期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．
【答案】C
【解析】由，得，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，由，得或，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），
当时，当时，，所以在上递减，
所以，解得，
综上，，
故选：C
2（23-24四川）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则有，
解得.
故选：C.
3.（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得．
当时，得或，当时，，
可得函数的单调增区间为，．减区间为，
即时，函数取得极小值，

当时，即，
解得或，
故要使函数在区间上存在最小值，
需有，解得，
即实数a的取值范围为
故选：A．
4（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，函数单调递减，无最小值；
当时，函数
当时，函数，
所以单调递增，当时，
要使函数存在最小值，即.
故选：C.
考向七 导数的综合运用
【例7-1】（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
令，可得或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，取极大值，当时，函数取极小值，
所以，，故，
又，，，
当时，令可得，
，
所以，
故，解得（舍去）或，
所以的最大值为.
故答案为：.
【例7-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由求导得，
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在区间上的最小值为，
而，，
所以在区间上的最大值为，
所以，
设函数，，
当时，，从而单调递减，
而，所以，即的取值范围是；
若，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在区间上的最小值为，
而，，所以在区间上的最大值为，
所以，
而，所以，即的取值范围是，
综上得的取值范围是.
故答案为：.
【一隅三反】
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以的最小值为，无最大值．
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，
当，即时，在单调递减，
；
当时，即在单调递减，单调递增，．
当时，在单调递增，；
综上所述.
2.（2025广东佛山）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)减区间，增区间，函数有极小值，无极大值
(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值.
综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值.
（2），
当时，，所以在上单调递增，所以；
当时，令，得，
（ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以；
（ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
则；
综上：当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为.
3.（2024吉林）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求在区间的最小值.
【答案】(1)，
(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(3)
【解析】（1）当时定义域为R，
且，
所以当或时，当时，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，；
（2）函数定义域为R，则，
令，解得或，
①当时，则当或时，，
当时，，
所以的单调增区间为，，单调减区间为；
②当时，恒成立，所以在R上单调递增；
③当时，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，
若，即时在上单调递减，
所以在上的最小值为，
若，即时，在单调递减，在单调递增，
所以在的最小值为，
所以.
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