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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.（2025·北京）已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．4
2．（2024内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3（2025湖北）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
4.（2024湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5.（2025·江西赣州·一模）已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025河北）已知当时，函数取得最大值2，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数的极值点为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
8（2025湖南）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ）
A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
10（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ）
A．
B．
C．有3个零点
D．直线与的图像仅有1个公共点
11（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．时，曲线的切线斜率最小值为
B．时，有最大值
C．时，有两个零点
D．时，有最小值
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知在等比数列中，首项，公比是函数的两个极值点，则数列的前10项和是 .
13．（2025河南洛阳·阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 .
14．（2025山东）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为 .
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最值.
16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)若时，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.
17．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处有极值-1.
(1)求实数a，b的值;
(2)求函数的单调区间.
18．（2024·广东汕头·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
19．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，求的取值范围.
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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.（2025·北京）已知函数的导函数的图像如图所示，若在处有极值，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．4
【答案】C
【解析】由函数的导函数的图像可知当时，，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
故为函数的极大值点，即，
故选：C
2．（2024内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由题目条件可得：函数的定义域为，.
令，得；
令，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.
则是函数的极小值点，
故，解得.
故选：B
3（2025湖北）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
4.（2024湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故选：A.
5.（2025·江西赣州·一模）已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以当时，，
因为恰有3个极值点，所以，
解得，即的取值范围为.
故选：D
6．（2025河北）已知当时，函数取得最大值2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，因为当时，函数取得最大值2，
所以，即，解得，
所以，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，符合题意，
所以.
故选：C.
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数的极值点为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】由得，，
设，则，所以在单调递减，
又，，由零点存在定理知，存在，使得，
所以当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减，，
所以是函数的极大值点，则，即.
所以.
故选：D
8（2025湖南）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，当时，为增函数，且，不符合题意.
若，最小值为.
若，当时，的最小值为.
当时，，若，则，若，则，在在，在上递增，故的最小值为.
由，
，，设，它在上是增函数，且，
所以的解是．
可得
综上，常数的取值范围为.
故选：B．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ）
A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
【答案】ABD
【解析】根据的图象可知：
当时，，单调递减；当时，，且不恒为零，单调递增；
对AB：根据单调性可知，只有极小值点，没有极大值点，故AB错误；
对CD：根据单调性可知，在单调递增，在也单调递增，故C正确，D错误.故选：ABD.
10（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ）
A．
B．
C．有3个零点
D．直线与的图像仅有1个公共点
【答案】ACD
【解析】由题意得
则，解得，故A正确.
由，解得，故B错误.
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的极大值为，
画出草图，所以有3个零点，故C正确；
直线与的图像仅有1个公共点，故D正确.
故选：ACD.
11（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．时，曲线的切线斜率最小值为
B．时，有最大值
C．时，有两个零点
D．时，有最小值
【答案】AD
【解析】函数的定义域为，且，
对于A选项，当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，时，曲线的切线斜率最小值为，A对；
对于B选项，当时，对任意的恒成立，
所以，当时，函数在上为增函数，则无最大值，B错；
对于CD选项，当时，，，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为，
则，所以，，
所以，当时，函数有最小值，函数无零点，C错D对.
故选：AD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知在等比数列中，首项，公比是函数的两个极值点，则数列的前10项和是 .
【答案】2046
【解析】，则，
令，解得，
∵，∴，
∴，
∴数列的前10项和.
故答案为：2046
13．（2025河南洛阳·阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
令 解得；令 ，解得或
由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，解得
故答案为：
14．（2025山东）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】的定义域为，.
要使函数有两个极值点，
只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.
由得，.
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.
，令得：x>1；令得：0所以在上单减，在上单增.
当时，；当时，；
作出和的图像如图，
所以-1即实数m的取值范围为.故答案为：
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（2025·陕西渭南·二模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
【解析】（1），
，
，
所求切线方程为.
（2）由（1）知，
令，得或；
令，得.
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
又，
函数在上的最小值为，最大值为.
16．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)若时，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，且，
所以，
故切线方程为，即，
（2），
由，存在，使得，即，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
故，
，
故在单调递减，又，
故
17．（24-25高三上·北京·期中）已知函数在处有极值-1.
(1)求实数a，b的值;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】（1）已知函数，则，
由题意，解得 ，
当时，，，
当或时，，当时，，
所以在上均单调递增，在上单调递减，
所以在处有极小值，满足题意，
综上所述，符合题意；
（2）由题意，则，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
18．（2024·广东汕头·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；
当时，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意，
所以的取值范围为.
19．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）函数的定义域为，，
故，，
所以，在点处切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，且，
有两个极值点等价于有两个不等正根，
即有两个不等正根，
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
如下图所示：
当时，直线与函数的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为、，
由图可知，当或时，，则，
当时，，则，
所以，函数的增区间为、，减区间为，
此时，函数的极大值点为，极小值点为，
故当时，有两个极值点，
综上，的取值范围为.
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