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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精练题组版）
题组一 无参函数的极值（点）
1.（24-25甘肃）函数的极大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
2.（2025·陕西）已知函数，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024湖北）已知函数是自然对数的底数），则的极大值为　　
A． B． C．1 D．
4.（2025高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的极小值 ．
5（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 .
6（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ．
7.（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行．
(1)求的值；
(2)求的极值．
8（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，其中为非零常数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值．
9.（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数的单调区间和极值．
题组二 导函数与极值的图像关系
1.（24-25四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值 B．在上是增函数
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
2.（2024浙江）若为函数的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数的是（ ）
A．B．C．D．
3.（2024·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4（2025高三下·全国·专题练习）（多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零
5.（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取最大值 B．是的极大值点
C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点
6．（2024吉林长春·期中）（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ）
A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点
C．有最大值 D．有最小值
7（2024重庆）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值
8.（2025江苏）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极小值
C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零
9（2024海南）（多选）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）
A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增
C．是极小值点 D．是极大值点
题组三 已知极值（点）求参数
1.（23-24高三上·陕西·阶段练习）若函数在处取得极小值，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
2.（2025·贵州）函数在处取得极值0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
6.（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
7.（2024海南）已知在处的极大值为5，则（ ）
A． B．6
C．或6 D．或2
8（2025山东聊城·期中）函数在时有极小值－4，那么的值为（ ）
A．6 B．6或32 C．2或42 D．6或30
9．（24-25陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 .
10（23-24湖北武汉·期中）已知函数在处取得极小值，则的值为 ．
题组四 已知极值点的个数求参
1.（2024四川成都·期中）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2.（23-24江苏无锡·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2025·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6.（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2025湖北）已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
8（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上仅有一个极值点，且，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
9.（24-25高三上·安徽马鞍山·期末）设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12（2025·上海·模拟预测）设为常数，，若，且函数在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，则的值为 .
13（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
14．（2025高三·全国·专题练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 ．
15（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 .
题组五 无参函数求最值
1.（24-25江苏无锡·期中）已知函数，，则的最小值为 .
2.（2025江苏）函数，的最小值是 ．
3（2025浙江）函数在上的最大值与最小值之和为 .
4.（2024湖南长沙·阶段练习）函数的最小值为 .
5（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数在上的最大值为 ．
6.（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的最大值为
题组六 已知最值求参数
1.（2024·四川）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是
2.（2025·四川）若函数的最小值是，则实数的取值范围是
3．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为
4.（24-25高三下·广东）已知函数的最小值是，则 .
5．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数的最小值为0，则 ．
6（2025湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 .
7．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
8．（2025福建）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 .
9．（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
10.（2025河南）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
11.（2024浙江）若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 .
12．（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
13（2025·广东）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
14（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为
题组七 导数的综合运用
1.（24-25高三上·安徽宣城·期末）函数，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，则
B．若，则函数在上单调递增
C．若，则函数在上的最小值为
D．若，则
3（24-25高三上·甘肃武威·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．是的极小值点
C．若，则
D．若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为
4（2025高三·北京·专题练习）已知函数.
(1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围；
5.（2025安徽）已知，其中.
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．
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3.3 利用导数研究函数的极值与最值（精练题组版）
题组一 无参函数的极值（点）
1.（24-25甘肃）函数的极大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
【答案】D
【解析】因为，令，得时；令，得，
所以当时，函数取得极大值．
故选：D.
2.（2025·陕西）已知函数，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，,
令，解得或，故
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极大值为，故选：B.
3.（2024湖北）已知函数是自然对数的底数），则的极大值为　　
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】，故，故，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
时，取得极大值，故选：．
4.（2025高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的极小值 ．
【答案】
【解析】当时，函数定义域为，
求导得，
当时，，
当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以当时，取得极小值.
5（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为R，求导得，
由，得；由，得或，
因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，
所以函数的极小值为.
故答案为：
6（2025·陕西宝鸡·二模）若函数的极大值点为，则 ．
【答案】/0.8
【解析】由函数，
求导可得，
令，则，
由题意可得，
由函数可知当（）时，，
当（）时，，且为函数的极大值点，
则可得（），解得（），
所以.故答案为：.
7.（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行．
(1)求的值；
(2)求的极值．
【答案】(1)2(2)极小值为，无极大值.
【解析】（1）因为，.所以，.
由题意.
（2）因为，.所以，.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数取得极小值，且.
8（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知函数，其中为非零常数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)极大值为，无极小值
【解析】（1）当时，定义域为，
又，当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减；
即的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）因为，所以，解得，
所以，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
9.（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数的单调区间和极值．
【答案】(1)，；
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值，极小值；
【解析】（1）由已知可得，
因为直线的斜率为，所以，所以．
令中得，故，
又，所以，所以．
（2）函数的定义域为．
由（1）知，，
令，解得或，
由得函数的单调递增区间为和；
由得函数的单调递减区间为
所以当时，函数取得极大值；
当时，函数取得极小值.
题组二 导函数与极值的图像关系
1.（24-25四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值 B．在上是增函数
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
2.（2024浙江）若为函数的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，，
则为函数的一个极值点等价条件为：，
且在的左右两侧取值异号.
对于选项A，，，，
且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.
对于选项B，，，，且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.
对于选项C，，，，在的左右两侧可取异号，故可能符合条件.
对于选项D，，，因此，不满足条件.
故选：D.
3.（2024·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【解析】函数，求导得，
观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，
函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；
由，得则，，得，排除C；
由不等式的解集为，得，即，排除B；
又是方程的二根，，则，选项D符合题意.
故选：D
4（2025高三下·全国·专题练习）（多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零
【答案】AB
【解析】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
则是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．
故选：AB
5.（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取最大值 B．是的极大值点
C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点
【答案】ACD
【解析】当时，，
函数单调递增，
同理可得：当时，，函数单调递减，
所以为函数的极大值，
当时，，函数单调递减，
当时，函数单调递减，
所以函数在上单调递减，
从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误；
又和时，，
，而在时等于0，所以不一定等于0，
当时，是导函数的极大值点，
当时，不是导函数的极大值点，所以D正确.
故选：ACD.
6．（2024吉林长春·期中）（多选）已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ）
A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点
C．有最大值 D．有最小值
【答案】BC
【解析】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点，
设这些点的横坐标依次为，满足，其中.
由图可知，当时，，即，
故函数在上单调递增，
当时，，即，
故函数在上单调递减，
当时，，即，
故函数在上单调递增，
当时，，即，
故函数在上单调递减.
综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值,
即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误；
因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得，
但因函数分别在时取得极大值，
故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误.
故选：BC.
7（2024重庆）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值
【答案】AD
【解析】由图可知当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，
在上为增函数，故A正确，B错误，
则在处取得极大值，处取得极小值，
即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确.
故选：AD
8.（2025江苏）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极小值
C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零
【答案】CD
【解析】对A，根据的图象可得：在上单调递减，
故不是的极大值，故A错误；
对B，根据的图象可得：在上单调递增，在上单调递减，
故不是的极小值，故B错误；
对C，在上，，
在区间上单调递减，故C正确；
对D，根据的图象可得： ，
即的图象在处的切线斜率小于零，故D正确.
故选：CD．
9（2024海南）（多选）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）
A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增
C．是极小值点 D．是极大值点
【答案】BD
【解析】．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，
．函数在区间的导数为，
在区间上单调递增，正确；
．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，
．时，，
当时，，为增函数，，
此时此时函数为减函数，
则函数内有极大值，是极大值点；故正确，
故选：．
题组三 已知极值（点）求参数
1.（23-24高三上·陕西·阶段练习）若函数在处取得极小值，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】A
【解析】由题意可得，则，解得.
当时，，
当或时，，则在，单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以，函数在处取得极小值，此时.
故选：A
2.（2025·贵州）函数在处取得极值0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】，所以，解得，
经检验，满足题意，所以.故选：A
3（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数，（）
则，令得或，
当时，不在函数的定义域内，不符合条件；
当时，若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极小值，不符合；
若，在上，单调递增，不存在极值，不符合；
若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极大值.
故选：B
4.（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，
则，
令，解得或，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，解得，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，不符合题意，
当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，.
故选：D.
5.（23-24天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
【答案】A
【解析】由题意得，因为在处有极小值，
所以，解得，
所以，
令，解得或，
故函数在和上为增函数，
令，解得，
故函数在上为减函数，
所以在处有极小值，符合题意，
所以，
故选：A.
6.（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在处取得极大值，
则，且，
即，所以；
所以，，
令，则或，
由，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在处取得极大值，.
故选：C.
7.（2024海南）已知在处的极大值为5，则（ ）
A． B．6
C．或6 D．或2
【答案】B
【解析】函数，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，
当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意；
当时，，
当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意，
所以，所以.
故选：B
8（2025山东聊城·期中）函数在时有极小值－4，那么的值为（ ）
A．6 B．6或32 C．2或42 D．6或30
【答案】D
【解析】，由题意得，
即，
且，
，代入，
得，解得或，
当时，，
，令得或，
令得，
故为极小值点，满足要求，故，
当时，，
，令得或，
令得，故为极小值点，满足要求，故，
综上，的值为6或30.故选：D
9．（24-25陕西榆林·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 .
【答案】3
【解析】由得，
因为函数在处取得极大值，
所以是方程的根，因此或，即或；
①若，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
此时函数在处取得极小值，不符合题意；
②若，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
此时函数在处取得极大值，符合题意；
故答案为：3
10（23-24湖北武汉·期中）已知函数在处取得极小值，则的值为 ．
【答案】
【解析】由求导，，
依题意，，即，解得或.
当，时，，，
，
当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，
即时，函数取得极小值，符合题意，此时；
当，时，，，
因 ，
即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.
故答案为：.
题组四 已知极值点的个数求参
1.（2024四川成都·期中）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】；在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.故选：C.
2.（23-24江苏无锡·阶段练习）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上无极值,
所以在上无变号零点，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
3（2024·重庆·模拟预测）若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，且，
因为函数有极值，所以在上有变号零点，
即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
所以只需，解得，即实数的取值范围是.
故选：C
4．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，，
又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，
由，所以方程有两个不同的正实数，
所以，即.
故选：B
5.（2025·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根，
则，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.
6.（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上有极值，所以在区间上有变号根，
即在区间上有变号根，令，则，
令，得或（舍去），
当时，，递减；
当时，，递增；
所以当时，取得极小值，又，，
所以，则，
又当时，，
递增，无极值，所以实数的取值范围是，故选：B
7.（2025湖北）已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，则，
因为有两个极值，所以有两个不等的实数解，
由，得，
令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以的图象如图所示，

由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值，
因为是的真子集，
所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是，
故选：A
8（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上仅有一个极值点，且，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
因为函数在上仅有一个极值点，
可得，所以．
由于，故有两种情况：
①的图象关于直线对称，可得，
解得，又，所以；
②的最小正周期满足，
解得，由于，故不存在满足条件的．
综上，．
故选：C．
9.（24-25高三上·安徽马鞍山·期末）设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，当时，，
因为函数，若在上有且只有个零点，
则，解得．
又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为，
而函数的最小正周期为，则，解得，
综上，的取值范围是.
故选：D
10.（24-25高三上·天津·期中）已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，极小值点为.
，令.
因为有且仅有个极小值点.
当时，；当时，；当时，.
所以，解不等式得.
因为的单调递增区间为.
对于，令，
则.
因为在上单调递增，所以.
当时，，当时，，
故，则且.
解不等式得.
综合以上两个条件，的取值范围是.
故选：D.
11（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，，
则，
令，，
则，
当时，恒成立，则，
即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意；
当时，令，得，
当时，，则，得函数在上单调递减，
又时，；时，，
所以存在，使得，则函数存在极值；
当时，，
则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
设，，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，且时，，
则时，，此时函数无极值，不符合题意；
当时，，且时，；时，，
此时函数存在极值.
综上所述，的取值范围为.
故选：A.
12（2025·上海·模拟预测）设为常数，，若，且函数在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，则的值为 .
【答案】11
【解析】在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，，
故为函数位于递减区间上的零点，
故，解得，，
，解得，
故，，只有当时，满足要求，
故.
故答案为：11.
13（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
令，则.
由题意可知有且仅有两个零点，
则在上有唯一的极值点且不等于零.
①当时，，单调递增，则至多有一个零点，不符合题意.
②当时，令，解得，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，则，
即，解得,
而当时，，当时，，
故符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：
14．（2025高三·全国·专题练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为函数有两个不同的极值点，
所以得有两个变号零点.
令，定义域为，则.
当时，恒成立，在上单调递增，不会有两个零点，舍去；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最 小值，
当趋向于负无穷大时，趋向于正无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，
有2个变号零点，
所以，即.
令，则
令，得令，得
则g(a)在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值.又，
故的解集为
故答案为：
15（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数，则，
因为在有唯一的极值点且为极大值点，
所以根据零点的存在性定理得，
的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ，
由于对称轴在区间 右侧，
要使在内有唯一的变号零点，则需满足 ，
而，
，
则不等式组可化为 ，解得，
综上,的取值范围为.
故答案为：.
题组五 无参函数求最值
1.（24-25江苏无锡·期中）已知函数，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，令，可得，而，，
所以，，函数单调递减；，，函数单调递增，
所以时函数最小为值，
所以函数在的最小值分别为.
故答案为：.
2.（2025江苏）函数，的最小值是 ．
【答案】0
【解析】因为，所以在上单调递增，在单调递减，又，.
故答案为：0.
3（2025浙江）函数在上的最大值与最小值之和为 .
【答案】
【解析】，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，，
.
故答案为：.
4.（2024湖南长沙·阶段练习）函数的最小值为 .
【答案】
【解析】定义域为，
，
令，解得.
则当时，，即为减函数，
当时，，即为增函数，
所以处的函数值为最小值，且.
故答案为：
5（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数在上的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，则，
所以，，
当时，，所以，，
则，
设，，则，
所以函数在上单调递减，，
即当时，．
故答案为：.
6.（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的最大值为
【答案】
【解析】解法一：，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为．
解法二：
，
当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为．
解法三：由，
当时，；
当时，，
故的单调递增区间为，
单调递减区间为，
又，是的一个周期，
则，即函数的最大值为．
解法四：，
令，则，
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即．
故选：C.
题组六 已知最值求参数
1.（2024·四川）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】由题意，函数，可得，
若时，当时在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，
画出函数与的图象，如图所示，

结合图象，存在，使得，
当时单调递减；
当时单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意．
综上可得，实数a的取值范围是.
2.（2025·四川）若函数的最小值是，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
3．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】当时，的取值范围是，
注意到，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的最大值为，
且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷，
若函数的值域为，
则当且仅当，解得.
故选：A.
4.（24-25高三下·广东）已知函数的最小值是，则 .
【答案】
【解析】由题意可得.
设，易证是偶函数.
当时，.
设，则恒成立，所以在上单调递增.
所以，所以，所以在上单调递增.
因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，即，解得.故答案为：.
5．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数的最小值为0，则 ．
【答案】
【解析】依题意，对于恒成立，且能取得等号，
即对于恒成立，且能取得等号，
函数在上单调递增，不等式为，
则，即，因此在上恒成立，且能取得等号，
设，于是是函数在上的最小值，
求导得，当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，且，
所以.
故答案为：
6（2025湖北·阶段练习）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
令可得或（舍），
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
又因为函数在内有最小值，故，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
7．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
令得，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有极小值，
因为函数在上存在最小值，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
8．（2025福建）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，可得，
当或时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
即为函数的极小值点；
要使得函数在区间上有最小值，
则满足，即，
因为，可得，即，解得，
所以，即实数的取值为.
故答案为：
9．（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）
【解析】由可知，，
又在上有最小值，
所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以，解得，
又因为，所以.
故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.
10.（2025河南）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
【答案】/
【解析】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最小值，
若，在上单调递减，
要想函数有最小值，则，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：
11.（2024浙江）若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得，
所以当或时，，当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值，
因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，
于是得，且，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
12．（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
若，则时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
所以当时，有最小值，满足题意；
若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意；
综上，，所以实数的取值范围为.
故答案为：
13（2025·广东）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
【答案】/0.5
【解析】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.
故答案为：
14（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为
【答案】
【解析】当时，单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当或时，，
令得或，
当时，恒成立，
故表格如下：
0 + 0
极小值 极大值
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
且，，
故的解集为，
时，令可得，
当时，，
令得，
故在上单调递减，
故在处取得最小值，最小值为，满足要求，
当时，恒成立，
故表格如下：
+ 0 0 +
极大值 极小值
故在上取得极小值，
且，，
要想在区间上的最小值为，
则要，变形得到，
令，，
时，，单调递增，
又，故上，无解，
综上：实数a的取值范围是.
题组七 导数的综合运用
1.（24-25高三上·安徽宣城·期末）函数，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设在上恒成立，
又，在上都单调递增，
所以，只需，在上的零点相同，即，
所以且，
令且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，即的最小值为.
故选：D
2（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，则
B．若，则函数在上单调递增
C．若，则函数在上的最小值为
D．若，则
【答案】BCD
【解析】首先对函数求导，可得.
曲线在点处的切线斜率等于该点处的导数值，即.
已知切线方程为，其斜率为，所以，解得，故选项错误.
当时，，.
当时，，则，即.
根据导数与函数单调性的关系，当函数的导数大于时，函数单调递增，
所以函数在上单调递增，故选项正确.
，令，即，解得.
当时，.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以在处取得最小值，，故C选项正确.
当时，，则，在上单调递增.
当时，，，不满足.
当时，令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得最小值.
令，对其求导得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在处取得最大值.
要使，则，所以，故选项正确.
故选：BCD.
3（24-25高三上·甘肃武威·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．是的极小值点
C．若，则
D．若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为
【答案】BCD
【解析】根据题意，，
则当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以是的极小值点，且，
所以的值域为，A错误，B正确；
由，可得，，
令，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，
因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，两点关于直线对称，
因此，即，C正确；
设切点为，所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
即方程有两个解，则，解得或，D正确．
故选：BCD
4（2025高三·北京·专题练习）已知函数.
(1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当a＞0时，函数在区间上的最小值为，求a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，，
则，，
所以曲线在点处切线的方程为.
（2）当时，，，
令，得或，
当即时，对，，即函数在上单调递增，
所以，符合题意；
当，即时，，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，不合题意；
当即时，，，即函数在上单调递减，
，不合题意；
综上，实数的取值范围为.
5.（2025安徽）已知，其中.
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）由题意得，因为是函数的极值点，所以，
即，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以是函数的极值点，即；
（2）令，
①当时，与的变化情况如下表：
0
0 0
减 增 减
∴的单调递增区间是，的单调递减区间是，
②当时，的单调递减区间是；
③当时，，与的变化情况如下表：
0
0 0
减 增 减
的单调递增区间是，的单调递减区间是，
综上，当时，的单调递增区间是，的单调递减区间是；
当时，的单调递减区间是；
当，的单调递增区间是，的单调递减区间是；
（3）由（2）可知当时，在的最大值是，但，所以不合题意，
当时，在上单调递减，可得在上的最大值为，符合题意，
∴在上的最大值为0时，的取值范围是．
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