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3.4 导数的综合应用
考向一 判断零点的个数
【例1-1】（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，试判断的零点个数并证明．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)两个零点，证明见解析
【解析】（1）由题知，，
当时，．
令，得或（舍去）．
当时，，故的单调递减区间为．
当时，，故的单调递增区间为．
（2）解法一：因为，故有一个零点是2．
令，解得（舍去），．
当时，，故单调递减．
当时，，故单调递增．
当时，，．
．
下面先证明当时，．
令，，
故在上单调递增，
所以．
因为，所以．
易知，所以在上存在唯一的零点，
所以当时，有两个零点，为2和．
解法二：当时，，故2是的一个零点．
令，又，所以．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以是的极小值点．
当时，，所以．
下证．
令，则．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
从而，
所以当时，，
所以，
即．
令，则有，则．
易得当时，，所以在上有唯一解．
综上，当时，有两个零点．
解法三：令，
当时，，故2是的一个零点．
当时，．
令，
易得在和上均单调递减．
因为（洛必达法则），
所以当时，且单调递减，
故当时，在上有唯一解．
而当时，，
故当时，无解．
综上可知，当时，有两个零点.
【例1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】（1）当时，，求导得，
则，而，所以所求切线方程为，即.
（2）依题意，，
当时，；当时，，函数在上递增，
在上递减，，
当，即时，恒成立，此时在上无零点；
当，即时，，，在上无零点，
，在上有一个零点，则在上有一个零点；
当，即时，，
函数在和上各有一个零点，因此在上有两个零点；
当，即时，在上恒成立，当且仅当，函数在上有一个零点；
当，即时，恒成立，此时在上无零点，
所以当或时，在上无零点；
当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点.
【一隅三反】
1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数.
(1)证明：，；
(2)求函数的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）欲证，，
即证，，
令，
则
，
因为，，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，成立.
（2）令，
所以，
①当时，，，
所以，
即在时无零点；
②当时，，，
所以，
所以在时单调递增，
所以，
即在时无零点；
③当时，令，
则，
显然在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
因此可得时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以存在，使得，
即时，，，单调递减；
时，，，单调递增，又，，
所以在上有2个不同的零点；
④当时，单调递增，
所以，
即成立，
所以在上无零点，
综上，函数有2个不同的零点.
2．（23-24内蒙古通辽·期中）已知函数.
(1)当时，求函数.
(2)讨论函数的极值点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，
则，则.
（2），
由，解得，
易知函数在上单调递增，且值域为，
令，由，解得，
设，则，
因为当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以的大致图象如图所示．
因此有：
（ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点；
（ⅱ）当时，，
设，则，
令，，
在上单调递增函数，在上单调递减，
所以，即，
得，
所以，函数在内单调递增，此时没有极值点；
（ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点；
（ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点．
综上，当时，有一个极值点；
当时，有两个极值点；
当时，没有极值点．
考向二 根据零点个数求参数
【例2-1】（23-24河南）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）∵，∴，
由已知得，是的两个根，
故，解得，；
此时，则，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
可知和均为极值点，符合题意，，.
（2）由（1）得，
，结合（1）可知，该函数的零点为，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
∴的极小值为，极大值为，
若方程有三个不同的实根，只需，
解得，
∴a的范围是.
【例2-2】（2025·四川广安·二模）已知函数（为常数）.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
(2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）因为，所以，
，，
所以曲线在处的切线为
，即.
令，则，
若，则，则切点为，切线为，不合题意；
若，则；令，则.
又切线在两坐标轴上的截距相等，即，
故.
（2）若函数有3个零点，等价于方程有三个解.
其中时，显然不是方程的根，
当时，转化为与的图象有3个交点.
又由，
令，解得或；令，解得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值，极小值为.
又由时，；当时，且；当时，，
故函数的大致图象如下图所示：
所以，即实数的取值范围为.
【例2-3】（2025·新疆·三模）已知函数，且．
(1)当（为自然对数的底数）时，求函数在处的切线方程；
(2)函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)且．
【解析】（1）因为，所以，，
，，
所以函数在处的切线方程为．
（2）
因为函数在上有且仅有两个零点，
所以方程有且仅有两个不同的实数根，即方程有且仅有两个不同的实数根．
令，则方程有且仅有两个不同的实数根，
∵，
所以在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减且，
∴，
∵与 有两个交点，
∴，结合图像解得且．
【例2-4】（2025·北京·模拟预测）已知函数.
(1)若函数的极值点在内，求m的取值范围；
(2)若有两个零点，求m取值的范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由,
则，
要使函数的极值点在内，
则在上有解，
即在上有解，则，解得，
即m的取值范围为.
（2）由，，
则，
当时，，，则，
此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，，令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又时，，时，，
要使有两个零点，则恒成立，
设，则，
所以函数在上单调递增，又，
则，解得.
综上所述，m取值的范围为.
【例2-5】（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，得，
即，令，，
所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点.
，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且时，时，
所以的图象如图所示，
设是经过点的的图象的切线，切点为，
则切线斜率为，
所以的方程为，
又经过点，所以，
即，解得或，
或，
所以由图可知，当或，
即或时，函数的图象与的图象有两个交点，
即函数恰有2个零点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【一隅三反】
1．（24-25高二下·山东·期中）函数有两个零点，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知：的定义域为，
且，
令，可知在内单调递增，
原题意等价于在定义域为有2个零点，
令，可得，
可知与（过原点的直线）有2个交点，
对于，则，
设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为，
代入点，得，解得，即切线斜率，
结合图象可知：若与有2个交点，则，即，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）当时，函数定义域为，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
所以当时，取得极小值.
（2）依题意，函数的定义域为，
由，得，令函数，
求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
则当，即时，直线与函数的图象有两个交点，即有两个零点，
所以的取值范围是.
3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个根，求的取值范围.
【答案】(1)函数的单调递增区间为和，递减区间为
(2)的取值范围为
【解析】（1）当时，，
所以，
由，得或，由，得，
所以函数的单调递增区间为和，递减区间为；
（2）因为不是的根，当时，
由，可得，
设，
则，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
当时，且，
当时，，
要使有两个根，则，解得，
所以的取值范围为.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数.
(1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若存在两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)无极小值点；理由见解析
(2)
【解析】（1）依题意可得，
，故，
设，则，
，
在上单调递增，
，
在上单调递增，无极小值点；
（2）令，可得，
所以与恰有两个交点，
设，则，
令可得，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增
，
当时，；当时，，
的取值范围是
5．（2025·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值；
(2)若有且只有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得的定义域为，，
则，即，
所以，即,
令，则,
又在区间上单调递增，且当时，，
所以，即，所以．
（2）因为有且只有两个零点，所以有且只有两个大于1的实数根，
又，
所以方程，即有且只有两个大于1的实数根，
令，则，
由，解得，当时，，当时，，
所以在区间上单调递减且，在区间上单调递增且当时，，作出的图象，如图①，
又，所以，
要使，则，即有且只有两个大于1的实数根，
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，当时，，且无限趋近于0，作出的图象，如图②，
所以，即，故的取值范围是．
考向三 恒（能）成立求参数
【例3-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，则
所以，又，
则所求切线方程为．
（2），其中，
所以问题转化为（）恒成立，
记，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，所以．
【例3-2】（2025·湖北·三模）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，
则，
所以切线方程为，即；
（2）当时，恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，则.
①当时，因为，则，
可知在上单调递减，则，
所以在上单调递减，
所以，即恒成立，所以满足题意；
②当时，令，解得：，
当时，，则单调递增，
此时，则在上单调递增，所以，
即当时，，即不恒成立，可知不合题意.
综上所述，.
【一隅三反】
1．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数.
(1)当时，证明:.
(2)若对于定义域内的任意恒成立，求t的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：当时，，
所以证明即证明，
设, 则，
所以当时，在区间单调递增；
当时，在区间单调递减，
所以在处取到最大值，即，所以，得证.
（2）由恒成立，得在上恒成立；
由(1)可以得到，所以；
所以，所以，当且仅当时取等号，
于是t的取值范围是
2．（2025·湖北武汉·二模）已知函数．
(1)若在处的切线斜率为，求；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以，依题意，解得；
（2）因为的定义域为，
又，
所以恒成立，
令，，则，
令，，则，所以在上单调递增，
又，，
所以使得，即，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围为.
3．（2025·北京·模拟预测）已知函数，，.
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)极大值为-1，无极小值；
(2)
【解析】（1）由题意得函数，
得的定义域为，
所以，
令，得，所以函数在单调递增；
令，解得，所以函数在单调递减；
所以函数在处取得极大值，且极大值为，无极小值.
（2）由，
即在恒成立，且，
所以，
即，
令，
则，
所以，
且，因为，所以，
所以在单调递增，
所以，
令，
则，
令，解得，则在单调递增，
令，解得，则在单调递减，
所以在处取得最大值，
所以实数的取值范围为，
故实数的最小值为.
考向四 隐零点
【例4】（2024湖北）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：函数的图象在x轴上方.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间；
(2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【详解】（1），
令则.
当时，，∴函数在上单调递增；
当时，，∴函数在上单调递减.
即的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），
，易知单调递增，
又，，
∴在上存在一个，
使得：，即：，且，
当，有单调递减；
当，有单调递增.
∴，
∴，
∴函数的图象在x轴上方.
【一隅三反】
1.(2025河南)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
【答案】见解析
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋2(x－1)．
当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x ln x－x＋1＋(x－1)2，
因为f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有1个零点．
当a＞1时，f′(x)＝1＋ln x－a＋2a(x－1)＝1＋ln x＋2ax－3a，
令g(x)＝1＋ln x＋2ax－3a，因为a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′＝g＝1＋ln ＞0，所以存在实数x0∈，使得g(x0)＝0．
在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0满足f′(x0)＝0，即1＋ln x0＋2ax0－3a ＝0．
所以f(x0)＝x0ln x0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，
因为x0∈，所以f(x0)＜0，因为f＝＋1－＞0，f(3)＝3ln 3＋a＋1＞0，所以f(x)有2个零点．
综上所述，当a＝1时，f(x)有1个零点；当a＞1时，f(x)有2个零点
2.（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求的极值；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，
所以的极大值为，无极小值；
（2）设，
则，
令，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又，，，
所以存在，使得，即．
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以当时，在处取得极小值，即为最小值，
故，
设，因为，
由二次函数的性质得函数在上单调递减，
故，
所以当时，，即．
3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【解析】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
考向五 不等式的证明
【例5】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数有两个零点.
(1)求的值；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为，
则，
由于，当或时，；当时，.
所以，函数的增区间为、，减区间为，
因为函数有两个零点，则或，
解得或（舍），故.
（2）当时，，
结合函数单调性知，当时，，，，
此时不等式成立.
下面证明时的情况，设，满足，
则原不等式等价于.
考虑到三次函数图象极值点附近的非对称性：
令，
则，故在上单调递减，.
，
故只需证，令，
当时，，故在上单调递减.
所以，故原不等式得证.
【一隅三反】
1．（2025·北京顺义·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：是上的单调递减函数；
(3)求证：当时，.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【解析】（1）依题意，．
又，
所以.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由（1）知，，，
所以.
令，则，
因为，所以，即，
所以在上单调递减，所以，
即，所以是上的单调递减函数.
（3）令，
则，
由（2）知，在上单调递减，
所以当时，，此时，即在上单调递减，
所以，即，
当时，，，.
所以即，
所以即，
综上可得：当时，.
2．（2025·辽宁锦州·二模）已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，．
【答案】(1)
(2)，，证明见解析
【解析】（1）若在上单调递增，
则对恒成立，
设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
所以只需，即，所以a的取值范围是.
（2）因为，，
所以在处切线方程为，
根据题意，该切线为，所以，解得，，
所以，因为，所以，
下面证明：，
（法一）先证，即，
令，，则，
所以在是增函数，所以，即，①
再证，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，即，所以，②
由①②得，综上，在上成立．
（法二）设，则，
因为两个函数均在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
所以使，所以，即，
当时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，即，
所以在上成立.
3．（2025·江西南昌·一模）已知．
(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若有极大值m，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）函数的定义域为，
可得，
令，
所以，
因为时，，所以单调递减，
时，，所以单调递增，
所以，
因为在定义域上单调递增，所以恒成立，
所以，即；
（2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，
此时，
且时，时，
所以，则，，其中，
因为时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以为的极大值点，则，
且，
设，则，
所以在单调递增，
所以，即.
考向六 极值点偏移
【例6-1】（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同极值点，证明：.
【答案】(1)的最大值为，无最小值.
(2)证明见解析
【解析】（1）当时，对函数求导可得.
令，解得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
因此，在处取得最大值，最大值为，无最小值.
（2）函数 对求导可得
令，得到.
设是的两个根，则①，②
①-②得③；①+②得④.
③④得，
即，
不妨设，令则，
即.
要证，即证，
即证，即证，即证，即证.
设，对求导可得
恒成立，故在上单调递增，
即故成立，即成立.
【例6-2】（2025·江苏·模拟预测）设，曲线在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：；
(3)若存在两根，，且，证明：.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【解析】（1）因为，所以，即，
因为，所以点在直线上，
即，所以．
（2）由（1）知，切线的方程为，
所以要证，即证．
设，
则，
当时，此时单调递增：
当时，此时单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立．
所以．
（3）因为，当时，此时单调递减：
当时，此时单调递增：
则极小值为，且，，且小于0，，，
因为存在两根，
所以，且．
首先证明：，即证．
因为在上单调递减，所以只要证，
即证．
设，因为，
当时，，，则，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，故，
所以．
其次证明：．
因为在处的切线为，
由（2）知，，当且仅当时等号成立，
所以，
即，所以．
综上，．
【一隅三反】
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1），则，
令，得，
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此．当时，，当时，，
作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点，
则，故的取值范围为．
（2）因为是函数的两个极值点，所以．
由（1）知，不妨设，
要证，即证，
只需证，显然．
由（1）知当时，单调递增，所以只需证，
而，所以即证．
设，
则，
当时，单调递减，所以当时，，
所以当时，，原不等式得证．
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数.
(1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；
(2)若函数在上恰有2个零点，.
①求的取值范围；
②求证：.
【答案】(1)；
(2)①；②证明见解析.
【解析】（1）当时，，设直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的斜率，
又，故的方程为，
又过原点，所以，所以，
所以，故的方程为，即.
（2）①因为在上恰有两个零点，
所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，
令，则与的图象有两个不同的交点.
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，

所以当时，直线与的图象有两个不同交点，
所以实数的取值范围为.
②由①知，，
所以，，
所以，
不妨设，则，
要证，只需证，
因为，所以，所以，
则只需证.
令，则只需证当时，恒成立，
令，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证.
3．（2025·江苏南京·一模）已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对于恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，使得，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由，得.
要证，只需证.
令，则.
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，故，
因此.
（2）
令，则
①当时，由，得，
因此，满足题意.
②当时，由，得，
因此，则在上单调递增.
若，则，
则在上单调递增，
所以，满足题意；
若，则，
因此在存在唯一的零点，且，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，不合题意.
综上，的取值范围为.
（3）由（2）知，设，
则在上单调递减，在上单调递增，
注意到，
故在上存在唯一的零点.
注意到，且在上单调递增.
要证明，只需证，
因为，所以只需证，
即证.
因为，即，
所以，只需证，
只需证（*）
由（1）得，
因此，
设，
则，所以在上单调递增，
所以，
从而，即，因此（*）得证，
从而.
考向七 放缩法证明不等式
【例7-1】（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，
则，
当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
在处取得极小值0，无极大值.
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以.
记，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.
又，所以，所以.
（3）先证，设，则，
所以在区间上单调递减，所以，即.
所以，再证.
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，
累加可得，
所以.
【变式】
1．（2025·浙江宁波·三模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)求证：当时，.
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】（1）由题设，则且，
当，，即在上单调递增，
当，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递增；
（2）由题设，令，则，
对时，恒成立，且，只需，即，
另一方面，时，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，满足题设，
综上，；
（3）由（2）取，在上，
令，，则，即，
所以，则，得证.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，.
(1)当时，求函数在的最小值；
(2)若函数为增函数，求实数的取值范围；
(3)若时，，，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，则，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在上恒成立，当且仅当时取等号，则在上单调递增，
所以函数在的最小值为.
（2）因为，则，
因为函数为增函数，则恒成立，
由（1），当且仅当，即时取等号，
所以.
（3）因为时，，即，得到，
令，则，
令，则，
所以，即，
所以，
即.
3．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)设，求证：．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【解析】（1）因为，且的定义域为，
则，
若，注意到，
可得，解得，
当时，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可得，符合题意；
综上所述：a的值为1.
（2）由（1）可得：，即，当且仅当时，等号成立，
令，可得，
即，
累加可得：，
又因为，
即，
所以.
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3.4 导数的综合应用（精讲）
考向一 判断零点的个数
【例1-1】（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，试判断的零点个数并证明．
【例1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【一隅三反】
1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数.
(1)证明：，；
(2)求函数的零点个数.
2．（23-24内蒙古通辽·期中）已知函数.
(1)当时，求函数.
(2)讨论函数的极值点个数.
考向二 根据零点个数求参数
【例2-1】（23-24河南）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
【例2-2】（2025·四川广安·二模）已知函数（为常数）.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
(2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由.
【例2-3】（2025·新疆·三模）已知函数，且．
(1)当（为自然对数的底数）时，求函数在处的切线方程；
(2)函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围．
【例2-4】（2025·北京·模拟预测）已知函数.
(1)若函数的极值点在内，求m的取值范围；
(2)若有两个零点，求m取值的范围.
【例2-5】（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【一隅三反】
1．（24-25高二下·山东·期中）函数有两个零点，则m的取值范围是 .
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围．
3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个根，求的取值范围.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数.
(1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若存在两个零点，求的取值范围.
5．（2025·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值；
(2)若有且只有两个零点，求的取值范围．
考向三 恒（能）成立求参数
【例3-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【例3-2】（2025·湖北·三模）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【一隅三反】
1．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数.
(1)当时，证明:.
(2)若对于定义域内的任意恒成立，求t的取值范围.
2．（2025·湖北武汉·二模）已知函数．
(1)若在处的切线斜率为，求；
(2)若恒成立，求的取值范围．
3．（2025·北京·模拟预测）已知函数，，.
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的最小值.
考向四 隐零点
【例4】（2024湖北）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：函数的图象在x轴上方.
【一隅三反】
1.(2025河南)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
2.（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求的极值；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
考向五 不等式的证明
【例5】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数有两个零点.
(1)求的值；
(2)证明：当时，.
【一隅三反】
1．（2025·北京顺义·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：是上的单调递减函数；
(3)求证：当时，.
2．（2025·辽宁锦州·二模）已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，．
3．（2025·江西南昌·一模）已知．
(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若有极大值m，求证：
考向六 极值点偏移
【例6-1】（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同极值点，证明：.
【例6-2】（2025·江苏·模拟预测）设，曲线在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：；
(3)若存在两根，，且，证明：.
【一隅三反】
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数.
(1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；
(2)若函数在上恰有2个零点，.
①求的取值范围；
②求证：.
3．（2025·江苏南京·一模）已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对于恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，使得，求证：.
考向七 放缩法证明不等式
【例7-1】（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
【变式】
1．（2025·浙江宁波·三模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)求证：当时，.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，.
(1)当时，求函数在的最小值；
(2)若函数为增函数，求实数的取值范围；
(3)若时，，，证明：.
3．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)设，求证：．
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