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3.4 导数的综合应用（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·湖南）已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由成立，可得，
设，则存在，使得成立，即，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
所以实数a的取值范围是.故选：C.
2．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，且在R上单调递增，
，即，
方程，即，于是，
即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点，
求导得，当时，，
当时，，函数在上递减，在上递增，
当时，取极小值；当时，取极大值为，
而当或时，恒有，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为，
故选：A
3．（2025福建龙岩·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为（），所以.
因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根.
由（）.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
且，，当时，.
所以要想方程（）有两个不同的解，须有，
即.
故选：D
4．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，符合题意；
当时，存在，使得，即，显然不满足题意；
当时，由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
由得，
设，则，
所以在上单调递减，又，所以，
综上，，即的取值范围是.
故选：B
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，求导可得，
由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解，
即方程存在唯一解，
令，求导可得，由，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，则，当时，，
易知当，即时，方程存在唯一解，
当时，，易知方程的解为，
由当时，，，则，同理可得当时，，
所以此时函数无极值点，不符合题意；
当时，，易知函数在上单调递增，符合题意.
故选：B.
6．（2025·江苏淮安·模拟预测）若函数，存在两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数，存在两个不同的零点，
令，
即与有两个不同的交点，
又，
令，即，
此时与相切于点，
又，所以既是与交点又是切点，
当时，
当时，从递减到，
函数从递减到，
由于递减较快，在处与相交一次，
当时，当 ，
但的增长速度比 快，因此两者会在 处相交一次，
所以在 和 各有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点，
当时，
当时，的递减速度比慢，
因此始终位于上方，所以无交点，
当时，，
但的增长速度比 慢，因此两者会在 处相交一次，
所以在处有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点.
当时，
令，即仅在相交，
当时，
当时，的递减速度比慢，
因此始终位于上方，所以无交点，
当时，的增长速度进一步降低，无法与交，
所以仅有一个零点，不满足题目要求，
数的取值范围为，
故选：A
7．（2024高三·全国·专题练习）对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，
B．若是函数的导数，则
C．对任意都有，则
D．设在定义域上有两个不同的极值点，则
【答案】A
【解析】对于函数，定义域为，所以，
对于A，当时，，则单调递减，
所以当时，，即，所以A错误；
对于B，令，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，
所以，即，所以B正确；
对于C，由题可得，对于任意，恒成立，
令，，则，且，
于是，解得，所以C正确；
对于D，，，则，
令，得，
由题可知有两个不同的极值点，
所以直线与函数的图象有两个不同的交点，
对求导得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有最大值，
且当时，，当时，，

所以，由题可知，，
不妨设，则，要证明，只需要证明，
即证，也就是证明，
令，，，，
则，即在上单调递增，
又，所以，所以，即，所以D正确，
故选：A
8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，且，若，则说法错误的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，且，，即，
令，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，，
结合，，即，知，A正确；
令，，
由于，则，故，
即，故在单调递增，则，
故，结合可得，
由于，故，即，B错误；
先证明不等式，
设，则即，即证；
设，则，
由于，但等号取不到，
故，则，则在上单调递增，
故，即成立，即成立，
对于两边取自然对数，得，
即，则，
故，则，C正确；
设，则，
当时，，即在上单调递增，
故，则，D正确，
故选：B
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25四川凉山·期中）已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ）
A．a的范围是 B．a的范围是 C． D．
【答案】BCD
【解析】，
令，解得或，
当时，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，，
此时函数只有一个零点，不符合题意；
当时，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，要使有三个不同的零点，
则，解得，即的取值范围是，故A错误，B正确；
因为函数有且仅有三个不同的零点分别为，
则
，
即有，，，则，故CD正确；
故选：BCD．
10．（24-25 福建三明·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数的极小值是2
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值，所以A错误；
对于B，函数，则，
由于，
即在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，
所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C，由，
可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，
即不存在实数，使得成立，C错误；
对于D，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，
则，即成立，故成立，所以D正确．
故选：BD．
11．（24-25 山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若恰有3个零点，则
B．若恰有3个零点，则
C．若恰有4个零点，则a的取值范围是
D．若恰有4个零点，则a的取值范围是
【答案】AD
【解析】函数的定义域为R，当时，，
于是，令，
则函数的零点个数即为直线与函数的图象交点个数，
求导得，令函数，
求导得，令函数，求导得，
函数在上单调递增，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，
则存在，使得，当或时，，
当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
则存在，使得，
当或时，；当或时，，
于是函数有4个零点，且，
当或或时；当或或时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
因此当时，直线与函数的图象最多两个交点；
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，，，
由，得，当时，取得极小值，
，同理，
对于AB，恰有3个零点，即直线与函数的图象有3个交点，则，A正确，B错误；
对于CD，恰有4个零点，即直线与函数的图象有4个交点，
则，C错误，D正确.
故选：AD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·四川达州·二模）已知函数在上存在零点，则实数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由可得，其中，
令，其中，
所以，实数的取值范围即为函数在上的值域，
则实数的最小值即为函数在上最小值.
则，
当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
13．（2025·河北张家口·二模）已知关于x的方程有两个不等实根，则正数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，可得，即，
等价于，变形得，
令函数，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又因为当时，，时，，
所以若方程有两个实根，由，
只需满足或，
所以正数的取值范围为.
故答案为：.
14．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】解法一：.
，
的零点等价于函数的零点.
又函数定义域为，且
是上的奇函数，
只需要考虑在上有一个零点即可.
又函数在上单调递增，函数在上单调递增，
当时，，
函数在上单调递增，
在上单调递减，的值域是.
当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意；
当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意；
当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使.
当时，，此时在上单调递增，，；
当时，，此时在上单调递减；
又，，，
，在上存在唯一零点，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
解法二：，是的一个零点.
当时，由，得，令，.
函数定义域为，
为上偶函数.
则问题转化为直线与函数的图象在上有一个交点.
由，可得，设，
则.在上单调递增，
则，即当时， ，
在上单调递减.
又，，在上的值域为，
故，即，故实数的取值范围是.
解法三：令，得，设.，.
函数的定义域为，且；
函数的定义域为，且，
与都是上的奇函数，
则问题转化为函数与在上恰有一个交点.
又函数在上单调递增，.
又，，在单调递减，
又，作出函数与直线的图象，
，即，故实数的取值范围是.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·安徽淮北·二模）已知函数
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)求证：当时，有且仅有一个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）若，则，
所以，函数在处的切线方程为；
（2）的定义域为，
当时有且仅有一个零点4：
当时，，函数递增，由，知存在唯一零点；
当时，令得，
当时，函数递增：
当时，函数递减；
当时，函数递增：
当时，，所以，函数无零点；
因为当时递减，当时递增，
且，所以存在唯一零点.
综上所述，当时，有且仅有一个零点.
16．（2025·广东广州·二模）已知函数（，且）.
(1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)8
(2)
【解析】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为，
由于，则，
解得，
则切点坐标为.
直线，即.
由得，
由，解得或（舍去），
当时，得，符合题意，
所以.
解法2：设直线与曲线的切点坐标为，
由于，则，
解得，
则切点坐标为.
直线，即.
当时，函数的定义域为，
设直线与曲线的切点坐标为，
由，得，得.
得，即，
则.
解得.
（2）解法1：①当时，则函数的定义域为.
由于，
则，不符合题意.
所以不符合题意.
②当时，则函数的定义域为.
显然.
当时，由，得，即.
令，则.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增.
则当时，取得最小值，其值为.
则，即.
综上所述，的取值范围为.
解法2：当时，由，得，即，
得.
令，则.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增.
则当时，取得最小值，其值为.
则，即.
综上所述，的取值范围为.
17．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）若，则，，，
所以切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）若对定义域内，都有恒成立，
即恒成立，只需即可，
设，，则，
令，解得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
故的取值范围为.
（3）由（2）得当时，恒成立，即，
将中的替换为，显然，
则，
故，
即.
故.
18．（2025·天津·模拟预测）已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，
（i）当时，求函数的最小值；
（ii）若有两个实根，，且，证明：.
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）证明见详解.
【解析】（1）因为，所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为：，即.
（2）（i）当时，，定义域为，
，
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以使得，即，①
故当时，，即，此时在上单调递减；
当时，，即，此时在上单调递增，
所以当时，函数有最小值，
由①可得，即，
所以函数的最小值为.
（ii）由题意，，定义域为，
由题意有两个不相等的实数根，
令，则，
所以在上递增，所以，
令，
所以有两个不相等的正的零点，且，
即，两式分别相加减得，
.
所以②
要证，只需证，
即证，即需证，
由②知，，
故只需证，
不妨设，令，
则只需证，即，
故只需证，
令
则，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立.
所以，即，故.
19．（2025·浙江金华·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)或.
【解析】（1）当时，函数的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，求导得，
令，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，
①若，当时，，函数在有唯一零点；
当时，，函数在无零点，
因此当时，有唯一零点；
②若，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负数，
即当时，，函数在上无零点；
当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于正无穷大，
当趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大，
则当且仅当，有唯一零点，由，得，即，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
则方程有唯一解，于是时，有唯一零点，
所以实数的取值范围为或.
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3.4 导数的综合应用（精练试卷版）
一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·湖南）已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025福建龙岩·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·重庆·二模）已知函数，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·江苏淮安·模拟预测）若函数，存在两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，
B．若是函数的导数，则
C．对任意都有，则
D．设在定义域上有两个不同的极值点，则
8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，且，若，则说法错误的（ ）
A． B．
C． D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（24-25四川凉山·期中）已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，，，则（ ）
A．a的范围是 B．a的范围是
C． D．
10．（24-25 福建三明·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数的极小值是2
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
11．（24-25 山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若恰有3个零点，则
B．若恰有3个零点，则
C．若恰有4个零点，则a的取值范围是
D．若恰有4个零点，则a的取值范围是
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·四川达州·二模）已知函数在上存在零点，则实数的最小值为 ．
13．（2025·河北张家口·二模）已知关于x的方程有两个不等实根，则正数a的取值范围是 .
14．（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 .
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·安徽淮北·二模）已知函数
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)求证：当时，有且仅有一个零点.
16．（2025·广东广州·二模）已知函数（，且）.
(1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值；
(2)若，求的取值范围.
17．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.
18．（2025·天津·模拟预测）已知函数，.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若，
（i）当时，求函数的最小值；
（ii）若有两个实根，，且，证明：.
19．（2025·浙江金华·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
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